Segmenti minimi nella ennesima dimensione

[curie88]

Il triangolo è la figura chiusa con meno segmenti possibili nel piano a 2 dimensioni; allora
quanti segmenti ha la figura chiusa' se esiste, con meno segmenti nella 5° dimensione?
Generalizzando alla ennesima dimensione?

[killing_buddha]

Il triangolo è la figura chiusa con meno segmenti possibili nel piano a 2 dimensioni

Cosa significa?

[axpgn]

Penso intenda che nel piano il poligono con il minimo numero di lati (spigoli) sia il triangolo (nello spazio penso sia il tetraedro ... forse )
Magari generalizzando la formula di Eulero ...

[Drazen77]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sarà una iperpiramide a base triangolare?

[Alemin]

ciao, caso vuole che anche io proprio ieri abbia pensato alla stessa domanda, rileggendola ed informandomi su internet, dal basso delle mie competenze (terza liceo scientifico scienze applicate) sono arrivato a pensare alla formula
$ y=(x*(x+1))/2 $
con y=numero minimo lati e x= numero dimensioni
inizialmente avevo notato un certo collegamento che mi aveva portato una serie di numeri possibili candidati a seconda della dimensione scelta, cercando in internet la formula per rappresentare questa serie sono arrivato ad una plausibile, ho verificato il grafico della funzione e l' ho aggiustato, sembrerebbe funzionare, i risultati li ho confrontati con quelli trovati in internet e... (per ora) risultano!
nulla di certo ma è valida per le seguenti figure
2d triangolo
3d tetraedro
4d ipertetraedro
5d 5-simplex*
6d 6-simplex*
7d 7-simplex*
8d 8-simplex*
9d 9-simplex*
10d 10-simplex*
tutti i risultati verificabili cercando su wikipedia i nomi (di cui non riesco a lineare le pagine)
quelli con * li ho trovati solo in inglese
P.s. ti avviso che il poliptoto n-dimensionale con il minor numero di vertici (e quindi presumo anche di lati) si chiama "SIMPLESSO", come prevedibile dai risultati con*

[axpgn]

Ragionando a ruota libera ( ) provo a fare delle ipotesi (non dimostrate ) ...

- per costruire un "solido" in $n$ dimensioni occorrono al minimo $n+1$ punti
- se l'$n$-solido è il "più piccolo" della sua dimensione (qualsiasi cosa significhi) ogni punto (vertice) deve essere collegato agli altri
- ogni "spigolo" collega due (e due soli) vertici perciò perché siano tutti collegati saranno necessari $((v),(2))=(v(v-1))/2$ spigoli

Mah ...

Cordialmente, Alex

P.S.: qualcosa mi dice che kb conosca la risposta ...

[curie88]

Penso intenda che nel piano il poligono con il minimo numero di lati (spigoli) sia il triangolo (nello spazio penso sia il tetraedro ... forse )
Magari generalizzando la formula di Eulero ...

Ciao axpgn, Il poligono in due dimensioni è un triangolo, in 3 dimensioni non per forza il tetraedro ma una qualsiasi piramide. Dunque nella quarta @drazen77 mi aspetterei per analogia un iper-piramide.

Il triangolo è la figura chiusa con meno segmenti possibili nel piano a 2 dimensioni

Cosa significa?

Intendo dire che ciascun vertice della figura, che accetto per elementare, è collegato con almeno un altro, ed esiste almeno una faccia per la figura che si viene a creare da tali collegamenti.

...

sono giunto alla medesima formula da te trovata. Anche a me è successa la stessa cosa, ho pensato un giorno di risolvere un esercizio in un dato modo e poco dopo è stato risolto in tal modo anticipandomi da un altro..., Comunque a questo esercizio pensai almeno un paio d'anni fa.

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prendendo un triangolo in un piano dello spazio, se si aggiunge un punto nello spazio non facente parte del piano, si ottiene una piramide, il cui numero di spigoli è $6$, se ora si immagina di fissare un altro punto esterno allo spazio, ma questo si può fare sul foglio, se non vado errando,e si collega a tale punto esterno ciascun vertice della piramide preccedemente raffigurata, per analogia si dovrà avere una iper-piramide i cui spigoli che si possono contare,sono $15$, sempre se non vado errando..., per la formula è facile riconoscerla è quella di Gauss, dei numeri triangolari.

[Alemin]

"Un simplesso n-dimensionale è l'inviluppo convesso n+1 punti [...] Gli n+1 punti sono i vertici del simplesso"
da wikipedia
Sostituendo v=n+1 alla formula di @axpgn la mia e la sua soluzione coincidono

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grazie @curie88 , la formula di gauss dei numeri triangolari mi mancava

[axpgn]

@ curie88
Lascia perdere le piramidi, possono avere una base qualsiasi; è il tetraedro il "solido minimo" (non è necessario che sia regolare)

[curie88]

@axpgn OK, in effetti è il tetraedro...volevo aggiungere piramide con base triangolare...