12 monete

[axpgn]

Ci sono dodici monete apparentemente identiche, invece una di esse ha un peso diverso, non si sa se sia più leggera o più pesante delle altre.
Avendo a disposizione una bilancia a due piatti e solamente tre pesate come fare a riconoscere la moneta falsa ed anche se è più leggera o più pesante delle altre?

Cordialmente, Alex

[dan95]

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Numeriamo le monete da 1 a 12

Prima pesata: peso 1-2-3-4 e 5-6-7-8

Seconda pesata:

1) se non stanno in equilibrio, procedo pesando 1-2-5-6 e 3-4-9-10.

2) se stanno in equilibrio so che in 9-10-11-12 c'è la moneta incriminata e altre due pesate sono sufficienti (a intuito) per trovarla, quando ho più tempo spiego come...


Terza pesata:

1) se nel primo caso della seconda pesata i piatti sono in equilibrio allora o la moneta 7 o la moneta 8 è quella incriminata e siccome dal *disequilibrio della prima pesata è possibile stabilire se si tratta di una moneta più pesante o più leggera, basterà confrontare 7 e 8

2) sempre nel primo caso della seconda pesata se c'è lo stesso disequilibrio della prima pesata allora o 1 o 2 è la moneta incriminata e si procede come * .
Altrimenti se il disequilibrio si è invertito o 5 o 6 è la moneta incriminata e si procede come in * .

[axpgn]

Non mi pare funzioni ...

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Metti che la moneta sia la 3 e sia più pesante: pende a sx la prima, pende a dx la seconda ma tu ne concludi che è la 5 o la 6 ... sempre che io abbia capito bene

Cordialmente, Alex

[dan95]

Hai ragione...

[Drazen77]

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Divido le 12 monete in tre gruppi (da quattro) e confronto il peso dei primi due gruppi.
- Caso A: con la prima pesata trovo che i due gruppi pesati hanno lo stesso peso.
- Caso B: con la prima pesata trovo che i due gruppi pesati non hanno lo stesso peso.

- Caso A: la prima pesata dice che i due gruppi pesati hanno lo stesso peso, quindi la moneta di peso differente è nell'altro gruppo (quello che non è stato pesato).
- Dal gruppo che contiene la moneta dal peso differente prendo tre monete e ne confronto il peso con tre monete del primo gruppo. Questa è la seconda pesata e mi può dare due risultati:

- Caso A1: i due gruppi da tre monete hanno lo stesso peso. Significa che la moneta dal peso differente è quella che avevamo lasciato da parte. Con la terza pesata scopriremo se sia più leggera o più pesante delle altre.
- Caso A2: i due gruppi da tre monete hanno peso diverso. Significa che la moneta dal peso differente è tra le tre monete del terzo gruppo e * questa pesata ci dice anche se la moneta dal peso differente sia più leggera o più pesante delle altre. Con la terza pesata confronto due di queste tre monete e abbiamo la soluzione: se le due monete pesate hanno lo stesso peso, la moneta dal peso differente è l'altra. Se, invece, hanno peso diverso, la moneta dal peso differente è quella che pesa di più (o di meno, a seconda del risultato che ci ha dato * l'asterisco).

(il Caso B è un po' più lungo da descrivere, lo scriverò domani )

[veciorik]

La seguente tabella 4 x 27 rappresenta le 3 pesate, le 27 possibili combinazioni degli esiti ">" e "<" ed il risultato espresso nella forma "etichetta peso" della moneta falsa tra le 12 etichettate ABCDEFGHIJKL.
L'ordine delle pesate è irrilevante.
PS: ho fatto un errore nella terza pesata che non deve contenere la moneta D: temo di dover rinunciare alla preconfezionamento statico della terza pesata.
Tra le 27 combinazioni teoriche di 3 esiti di 3 pesate, le tre "/" sono impossibili per la terna di pesate prescelta.
La tabella è speculare rispetto alla combinazione centrale "===", ossia per l'interscambio tra ">" e "<".
NB: ho dovuto fare due tabelle perché la seconda mi risulta invisibile sotto spoiler.

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esito  ABCD | EFGH    <   <   <   <   <   <   <   <   <   =   =   =   =   =   =   =   =   =   >   >   >   >   >   >   >   >   >

esito  AIJK | BCDE    <   <   <   =   =   =   >   >   >   <   <   <   =   =   =   >   >   >   <   <   <   =   =   =   >   >   >

esito ABEFI | CDGJL   <   =   >   <   =   >   <   =   >   <   =   >   <   =   >   <   =   >   <   =   >   <   =   >   <   =   >

risultato            A<   /  E>  G>  H>  F>  B<  D<  C<  I<  K<  J<  L<   /  L>  J>  K>  I>  C>  D>  B>  F<  H<  G<  E<   /  A>

Questa, per me invisibile, è codificata con

Codice:

[table=]

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esito ABCD:EFGH	esito AIJK:BCDE	esito ABEFI:CDGJL	risposta
<	<	<	A <
<	<	=	impossibile
<	<	>	E >
<	=	<	G >
<	=	=	H >
<	=	>	F >
<	>	<	B <
<	>	=	D <
<	>	>	C <
=	<	<	I <
=	<	=	K <
=	<	>	J <
=	=	<	L <
=	=	=	impossibile
=	=	>	L >
=	>	<	J >
=	>	=	K >
=	>	>	I >
>	<	<	C >
>	<	=	D >
>	<	>	B >
>	=	<	F <
>	=	=	H <
>	=	>	G <
>	>	<	E <
>	>	=	impossibile
>	>	>	A >

Rilancio: qual'è il massimo numero di monete se basta individuare la moneta falsa con tre pesate, ma non è obbligatorio determinare il suo peso ? Mi ricordo vagamente di averlo risolto al liceo, 47 anni orsono, ma non ne ricordo i dettagli.

[Drazen77]

Continuo il messaggio di ieri con il Caso B:

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- Caso B: la prima pesata dice che i due gruppi pesati non hanno lo stesso peso, quindi la moneta di peso differente è in uno di questi due gruppi. Sappiamo anche che le quattro monete del gruppo che non è stato pesato hanno lo stesso peso.
(chiamiamo le quattro monete che abbiamo messo sul piatto sinistro della bilancia SSSS, quelle sul piatto destro DDDD e le altre MMMM).
Nella prima pesata le S pesano più delle D. Significa che o la moneta dal peso differente è una S e pesa più delle altre o è una D e pesa meno delle altre.
Con la seconda pesata confrontiamo DSSS con SMMM e possiamo ottenere tre possibili risultati:

- Caso B1: DSSS e SMMM hanno lo stesso peso. Significa che la moneta dal peso differente è tra le tre D che non abbiamo pesato e che è più leggera delle altre. A questo punto possiamo procedere come nel Caso A2.
- Caso B2: DSSS pesano più di SMMM. Significa che la moneta dal peso differente è una delle tre S e che è più pesante delle altre. Anche in questo caso possiamo procedere come nel Caso A2.
- Caso B3: DSSS pesano meno di SMMM. Significa che la moneta dal peso differente o è la D nel piatto di sinistra (sarebbe più leggera delle altre) o è la S nel piatto di destra (sarebbe più pesante delle altre). A questo punto procediamo pesando una di queste due con una delle altre per ottenere la soluzione.

[dan95]

@Drazen77

Ah... vabbè stavolta ho toppato

[veciorik]

Correggo: nella terza pesata rimuovo D e E dai piatti, e scambio tra loro i risultati della seconda con la terza colonna, e della penultima con la terzultima.
Così lo schema è più simmetrico.

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ABCD | EFGH    <   <   <   <   <   <   <   <   <   =   =   =   =   =   =   =   =   =   >   >   >   >   >   >   >   >   >

AIJK | BCDE    <   <   <   =   =   =   >   >   >   <   <   <   =   =   =   >   >   >   <   <   <   =   =   =   >   >   >

ABFI | CGJL    <   =   >   <   =   >   <   =   >   <   =   >   <   =   >   <   =   >   <   =   >   <   =   >   <   =   >

risultato     A<  E>   /  G>  H>  F>  B<  D<  C<  I<  K<  J<  L<   /  L>  J>  K>  I>  C>  D>  B>  F<  H<  G<   /  E<  A>

[axpgn]

La mia soluzione ricalca quella di veciorik ...

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Per ciascuna pesata ci sono tre casi possibili: pende a dx, pende a sx, equilibrio.
Perciò con tre pesate le combinazioni possibili sono $27$ e dato che i casi possibili sono $24$ (due per ogni moneta) è possibile costruire una serie di tre pesate in modo tale che si presentino $24$ combinazioni diverse.
Per esempio le mie tre pesate sono:

1^ pesata: $3-2-12-5 | 7-8-10-11$

2^ pesata: $3-11-6-5 | 1-8-4-12$

3^ pesata: $1-2-10-11 | 9-5-8-4 $

La tabella la lascio costruire a chi ne ha voglia ...

Dato che non riesco a trovare punti deboli nella soluzione di Drazen77, significa che è giusta

Cordialmente, Alex