moneta falsa tra 13, con tre pesate

[veciorik]

Copio da axpgn con due varianti.
Tra tredici monete apparentemente identiche ce n'è una falsa, che ha un peso diverso dalle altre, non si sa se sia più leggera o più pesante.
Distinguere la moneta falsa con tre pesate su una bilancia a bracci uguali.

Variante 1: le monete sono solo tredici. Non serve determinare se la moneta falsa è più leggera o più pesante.

Variante 2: c'è anche un'altra moneta sicuramente buona. Si deve determinare anche se la moneta falsa è più leggera o più pesante.

[Drazen77]

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Per la Variante 1 mi comporto (quasi) come nel Caso 1 del gioco con 12 monete (questa volta non ci importa sapere se la moneta che stiamo cercando sia più leggera o più pesante):

Divido le 13 monete in tre gruppi (due da quattro e uno da cinque) e confronto il peso dei due gruppi da quattro.
- Caso A: con la prima pesata trovo che i due gruppi pesati hanno lo stesso peso.
- Caso B: con la prima pesata trovo che i due gruppi pesati non hanno lo stesso peso.

- Caso A: la prima pesata dice che i due gruppi pesati hanno lo stesso peso, quindi la moneta di peso differente è nell'altro gruppo (quello da cinque).
- Dal gruppo da cinque prendo tre monete e ne confronto il peso con tre monete del primo gruppo. Questa è la seconda pesata e mi può dare due risultati:

- Caso A1: i due gruppi da tre monete hanno lo stesso peso. Significa che la moneta dal peso differente è una delle due che avevamo lasciato da parte. Con la terza pesata confrontiamo una di queste due con una qualsiasi e troviamo la moneta dal peso differente.

- Caso A2: i due gruppi da tre monete hanno peso diverso. Significa che la moneta dal peso differente è tra le tre monete del terzo gruppo. Con la terza pesata confronto due di queste tre monete e troviamo la moneta dal peso differente.

- Caso B: la prima pesata dice che i due gruppi pesati non hanno lo stesso peso, quindi la moneta di peso differente è in uno di questi due gruppi. Procedo esattamente come nel Caso B del gioco con 12 monete.

Per la Variante 2 ci sto ragionando, ma per chiarezza, in pratica le monete sono 14 e la quattordicesima sarebbe un "jolly" con il peso "giusto" da poter usare per un confronto?

[veciorik]

Per la Variante 2 ci sto ragionando, ma per chiarezza, in pratica le monete sono 14 e la quattordicesima sarebbe un "jolly" con il peso "giusto" da poter usare per un confronto?

SI

[veciorik]

Complico la variante 2 in 2bis:
la presenza di una moneta falsa è dubbia, le 13 potrebbero essere tutte normali.

[axpgn]

Per la 2bis penso vada bene questa soluzione ...

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1^ pesata: $13-3-2-12-5 | 7-8-10-11-0$

2^ pesata: $0-3-11-6-5 | 1-8-4-12-13$

3^ pesata: $13-1-2-10-11 | 9-5-8-4-0 $

Cordialmente, Alex

[veciorik]

axpgn, ho faticato a controllare, nonostante i nostri fondamentali siano uguali (credo), perché la numerazione (aka etichettatura) delle monete e l'ordine delle pesate sono arbitrari, e li abbiamo scelti diversamente.
Potevi agevolare il controllo fornendo una tabella degli esiti simile alla mia nel quiz "12 monete".
La tecnica di Drazen77 è più facile da verificare; vediamo cosa farà in questo caso.

[axpgn]

... Potevi agevolare il controllo fornendo una tabella degli esiti simile alla mia nel quiz "12 monete".

... La tabella la lascio costruire a chi ne ha voglia ...

Evidentemente, io no voglia ...

Comunque, battute a parte ...

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Si può controllare agevolmente (IMHO ) anche ad occhio ovvero, per esempio, il $3$ sta nella prima e seconda pesata a sx, il $2$ nella 1^ e 3^ a sx, il $12$ nella 1^ a sx e nella 2^ a dx, il $5$ nella 1^ e 2^ a sx e nella 3^ a dx e così via notando che non esistono situazioni uguali (e ovviamente neppure le simmetriche).
Oppure, se vuoi fare la tabella, invece di usare le lettere, usa i numeri ternari dove $0$ assenza, $1$ sinistra e $2$ destra per cui il $3$ corrisponde a $110$ (e al suo simmetrico $220$), il $2$ a $101$ (e $202$), il $12$ al $120$ (e $210$); ti assicuro che è facile e veloce costruire tutte le $24$ combinazioni (mi riferisco alle 12 monete).
Per le 13 monete ho "solamente" (si fa per dire ) aggiunto la combinazione che mancava cioè la $121$ (e $212$) oltre alla $000$ non contemplata precedentemente.
E così si raggiungono le $27$ combinazioni possibili e di conseguenza non penso si possa fare meglio ... isn't it?

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

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Per la Variante 2 divido le monete in tre gruppi:
un gruppo da tre monete (AAA), un gruppo da quattro (BBBB) e un gruppo da sei(CCCCCC). A parte c'è la moneta Jolly (J) che sappiamo avere il peso "giusto".

Prima pesata: AAAJ-BBBB
- Caso 1: AAAJ e BBBB hanno peso diverso.
- Caso 2: AAAJ e BBBB hanno lo stesso peso.

- Caso 1: AAAJ e BBBB hanno peso diverso.
Supponiamo che AAAJ sia più pesante di BBBB. Significa che o la moneta "falsa" è tra le AAAJ ed è più pesante o è tra le BBBB ed è più leggera.
Seconda pesata: BB-BB. Se la falsa è tra le BBBB con la seconda e la terza pesata trovo la soluzione.
Se, invece, questa seconda pesata (BB-BB) dà un risultato di equilibrio significa che la falsa sia una delle tre A ed è più pesante delle altre. Con la terza pesata confronto A-A e ho la soluzione.

- Caso 2: AAAJ e BBBB hanno lo stesso peso. Significa che la falsa sia una delle 6 C.
Procederei con la seconda pesata: CCJ-CCC, ma poi non basterebbero tre pesate. Forse mi sono incartato...

[veciorik]

Drazen77, desisti ?
o vuoi una dritta ?

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Quante monete al massimo puoi svelare con due pesate, in mancanza di altre info ?
NB: hai sufficienti monete buone, già convalidate.
Rileggi le tue risposte e lo trovi !

[Drazen77]

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Con questo metodo ho risolto la Variante 1 e la Variante 2 - Caso 1, ma non riesco a risolvere la Variante 2 - Caso 2.
Con il metodo della tabella, invece, ci si riesce...