La capra

[Drazen77]

Un contadino ha un terreno erboso perfettamente circolare.
Sul perimetro del terreno pianta un palo a cui lega una capra con una corda.
La capra comincia subito a mangiare l'erba.
Quanto deve essere lunga la corda affinché la capra mangi esattamente metà del manto erboso che ricopre il terreno?

[axpgn]

Non sono riuscito a trovare una soluzione "semplice" ...

Facendo i conti dovrebbe essere ...

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$l=r*1.15872055198896$ ... vabbè, un po' di cifre ...

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Sì, come l'hai calcolato?

[axpgn]

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L'area in questione è la somma di due segmenti circolari, il punto di partenza è stato questo ... il "resto" te lo racconto se ho tempo (è un po' lunghetto ... )

[anto_zoolander]

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se ho capito bene il terreno è una cosa del tipo $x^2+y^2leqr^2$ e il palo è messo sul bordo del disco.
A meno di una rotazione del sistema possiamo supporlo sul punto $(r,0)$
quindi la capra potrà muoversi, supposto un filo insensibile di lunghezza $l$, per tutto il disco $(x-r)^2+y^2leql^2$
ora la capra deve mangiare $pi/2r^2$ di terreno quindi considerando come abbiamo posto il riferimento prendiamo le curve

$x_1(y)=sqrt(r^2-y^2)$ e $x_2(y)=r-sqrt(l^2-y^2)$

si intersecheranno in $y_(pm)=pml/(2r)sqrt(4r^2-l^2)$

penso che basti calcolare $int_(y_(-))^(y_(+))[x_1(y)-x_2(y)]dy=pi/2r^2$

[curie88]

Si può risolvere senza scomodare gli integrali:

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Scelto il cerchio di raggio $r$ come area del prato, ed il suo centro $O=(0,0)$ nell' origine degli assi:
L'area della mezza Luna al di sopra dell'asse $x$ è la stessa della metà area mangiata dalla capra(cioè quella sopra all' asse $x$).
Se $t$ è l'angolo tra la corda(raggio $R$) e l'asse $x$, il prolungamento di quest' ultima fino ad incontrare il cerchio di raggio $r$, nel punto $T$, determinerà un angolo $2t$, tra il segmento $r$ e l'asse $x$, con $r$ condotto dal centro $O$ al punto $T$; questo perché un angolo al centro è sempre doppio di un angolo alla circonferenza nel caso in cui i due angoli siano sottesi allo stesso arco.
Calcolando la differenza tra l'area del settore circolare di angolo $2t$ e raggio $r$ e l' ulteriore differenza tra l'area del settore circolare $R^2t/2$, ed il triangolo isoscele di base $R$ e lati $r$, si trova l'area della mezza Luna in questione; basterà risolvere la seguente equazione per poter ricavare $t$:

${Area}_{Luna}/2=2r^2t/2-(R^2t/2-R*sqrt(r^2-R^2/4)/2)=\pir^2/4$

Poichè $t$, vale anche $\arccos(R/(2r))$, e ponendo $r=1$, per semplificare i conti, si ottiene:
$t = (\pi - R*sqrt(4 - R^2))/(2*(2 – R^2)) = \arccos(R/2)$

da cui:

$R=1.1587284730182...$

@axpgn, questo è un risultato che si discosta poco dal tuo, ma resta sempre differente, non so dire, se ho sbagliato io o tu, oppure è semplicemente un errore di approssimazione..., ho tentato infatti, di trovare una soluzione esatta al quesito in questione, ma temo di commettere errori, anche se il procedimento mi sembra corretto...:

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Il procedimento potrebbe essere "semplice":

Posto il raggio del cerchio del manto erboso $r=1$, ricavo la generica lunghezza $L(y)$ della corda inscritta nell' area interessata, di misura $\pi/4$ (considero, per chiarire, la parte al di sopra dell'asse $x$, non la semi Luna, ma proprio quella "sbafata" dalla capretta, composta dalla somma dei due, quasi-settori-circolari.):

$L(y) = \abs(\Delta\x) = \abs(x_r - x_R) = \abs(\sqrt(1 - y^2) - (sqrt(R^2 - y^2) - 1))$

dove con $x_r$ ho indicato la generica ascissa del punto $P_r$ giacente sulla circonferenza $x^2+y^2 = r^2$,
e con $x_R$ l'ascissa del punto $P_R$ giacente sulla circonferenza $(x+1)^2+y^2 = R^2$

Trovo il valore costante $L = \pi / (2R sqrt(4 – R^2)) $ della corda media.

Trovo il valore costante $h = R*sqrt(4 – R^2)/2$ dell' altezza riferita alla corda $L$, poiché l'area è $\pi/4$, $h$ risulta da: $L * h=\pi/4$.

Infine calcolo l'equazione:

$L(y) = L$, sostituendo ad $y$, il valore di $h$:

$L(h) = |sqrt(1 – ( R*sqrt(4 – R^2)/2)^2) – (sqrt(R^2 – ( R*sqrt(4 – R^2)/2)^2) – 1)| = π / (2R sqrt(4 – R²))$

Risolvendo, però trovo:

$R = sqrt(2 - sqrt(1/2 (4 + sqrt(16 - π^2)))) \= 1.06163$

che è completamente differente da quello calcolato prima... ..

[curie88]

Nonostante tutto sono riuscito a commettere l' errore grave che volevo evitare, $h$ non risulta affatto da $\pi/(4L)$, da essa risulta $H$, che è l'altezza massima dell'area interessata.
Se calcolo il valore esatto di $h$, allora risolvo il problema.

[orsoulx]

Non sono intervenuto prima, perché conoscevo il problema da molti anni. Visto che ci sono risultati leggermente contrastanti ho provato a ripensarci e trovo un risultato coincidente con quello di curie88 fino all'undicesima cifra significativa (la successiva differenza può dipendere da errori di arrotondamento):

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La più semplice equazione risolvente che son riuscito a tirar fuori è $ sen phi -phi cos phi=pi/2 $ con $ phi $ angolo al centro del settore circolare (di raggio $R$) a disposizione della capra, quindi $ R =2 cos (phi/2)$

Ciao