Si può risolvere senza scomodare gli integrali:
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Scelto il cerchio di raggio $r$ come area del prato, ed il suo centro $O=(0,0)$ nell' origine degli assi:
L'area della mezza Luna al di sopra dell'asse $x$ è la stessa della metà area mangiata dalla capra(cioè quella sopra all' asse $x$).
Se $t$ è l'angolo tra la corda(raggio $R$) e l'asse $x$, il prolungamento di quest' ultima fino ad incontrare il cerchio di raggio $r$, nel punto $T$, determinerà un angolo $2t$, tra il segmento $r$ e l'asse $x$, con $r$ condotto dal centro $O$ al punto $T$; questo perché un angolo al centro è sempre doppio di un angolo alla circonferenza nel caso in cui i due angoli siano sottesi allo stesso arco.
Calcolando la differenza tra l'area del settore circolare di angolo $2t$ e raggio $r$ e l' ulteriore differenza tra l'area del settore circolare $R^2t/2$, ed il triangolo isoscele di base $R$ e lati $r$, si trova l'area della mezza Luna in questione; basterà risolvere la seguente equazione per poter ricavare $t$:
${Area}_{Luna}/2=2r^2t/2-(R^2t/2-R*sqrt(r^2-R^2/4)/2)=\pir^2/4$
Poichè $t$, vale anche $\arccos(R/(2r))$, e ponendo $r=1$, per semplificare i conti, si ottiene:
$t = (\pi - R*sqrt(4 - R^2))/(2*(2 – R^2)) = \arccos(R/2)$
da cui:
$R=1.1587284730182...$
@axpgn, questo è un risultato che si discosta poco dal tuo, ma resta sempre differente, non so dire, se ho sbagliato io o tu, oppure è semplicemente un errore di approssimazione..., ho tentato infatti, di trovare una soluzione esatta al quesito in questione, ma temo di commettere errori, anche se il procedimento mi sembra corretto...:
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Il procedimento potrebbe essere "semplice":
Posto il raggio del cerchio del manto erboso $r=1$, ricavo la generica lunghezza $L(y)$ della corda inscritta nell' area interessata, di misura $\pi/4$ (considero, per chiarire, la parte al di sopra dell'asse $x$, non la semi Luna, ma proprio quella "sbafata" dalla capretta, composta dalla somma dei due,
quasi
-settori-circolari.):
$L(y) = \abs(\Delta\x) = \abs(x_r - x_R) = \abs(\sqrt(1 - y^2) - (sqrt(R^2 - y^2) - 1))$
dove con $x_r$ ho indicato la generica ascissa del punto $P_r$ giacente sulla circonferenza $x^2+y^2 = r^2$,
e con $x_R$ l'ascissa del punto $P_R$ giacente sulla circonferenza $(x+1)^2+y^2 = R^2$
Trovo il valore costante $L = \pi / (2R sqrt(4 – R^2)) $ della corda media.
Trovo il valore costante $h = R*sqrt(4 – R^2)/2$ dell' altezza riferita alla corda $L$, poiché l'area è $\pi/4$, $h$ risulta da: $L * h=\pi/4$.
Infine calcolo l'equazione:
$L(y) = L$, sostituendo ad $y$, il valore di $h$:
$L(h) = |sqrt(1 – ( R*sqrt(4 – R^2)/2)^2) – (sqrt(R^2 – ( R*sqrt(4 – R^2)/2)^2) – 1)| = π / (2R sqrt(4 – R²))$
Risolvendo, però trovo:
$R = sqrt(2 - sqrt(1/2 (4 + sqrt(16 - π^2)))) \= 1.06163$
che è completamente differente da quello calcolato prima...
..
“Tutte le scienze esatte sono dominate dall'idea dell'approssimazione.” Bertrand Russell.