Re: Un cerchio pieno pieno ...

Messaggioda Settevoltesette » 14/06/2018, 17:25

Boh, penso di essere abbastanza sicuro del risultato, non saprei come formalizzare meglio il tutto ma, penso possa bastare.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se ho \(\displaystyle n \) punti ho che le combinazioni a 2 a 2 sono finite, allora deve esistere \(\displaystyle m \) t.c. \(\displaystyle mx1+y1 < mx2+y2 < .... \) dove tutte le disuguaglianze sono strette, perché se \(\displaystyle m \) indica la direzione di una retta, ed \(\displaystyle m \) lo posso scegliere in un insieme infinito ho che deve esserci un \(\displaystyle m \) per cui il fascio di rette improprio non ha nessuna retta che passa per 2 punti. A questo punto per la densità di R e il fatto che le disuguaglianze sono strette, so che esiste un \(\displaystyle A \) il cui valore é strettamente maggiore di un certo \(\displaystyle mxi +yi \) e strettamente minore di \(\displaystyle mxj +yj \) che posso scegliere in modo arbitrario. La retta \(\displaystyle mx + y = A \) divide i punti in \(\displaystyle i \) punti da una parte e \(\displaystyle j \) dall'altra, se scelgo \(\displaystyle i = n/2 \) ho finito.
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Re: Un cerchio pieno pieno ...

Messaggioda axpgn » 14/06/2018, 21:26

L'idea è buona ma la dimostrazione no ... questo a mio parere ... io la dimostrerei così ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ogni coppia di punti determina una retta e quindi le possibili rette sono "tantine" :-D ma comunque in numero finito; perciò è sempre possibile prendere una retta con pendenza diversa da tutte queste. E fin qui siamo d'accordo ... :D
Tracciamo una retta con questa pendenza esternamente al cerchio, poi la muoviamo verso il cerchio (sempre rimanendo parallela a sé stessa) in modo da attraversarlo tutto; questa retta toccherà prima un punto, poi il secondo, poi il terzo è così via fino al milionesimo senza mai toccarne due contemporaneamente: se così non fosse vorrebbe dire che ha la stessa pendenza della retta che passa per quei due punti, in contrasto al criterio con cui l'abbiamo scelta.
Quando avrà raggiunto e superato il mezzo milionesimo punto e prima di raggiungere il cinquecentomila e uno , avrà diviso i punti equamente tra i due semipiani.
Una dimostrazione leggermente alternativa è questa: scelta la pendenza della retta come sopra detto tracciamone una con tale pendenza per ogni punto, ne avremo un milione tutte distinte (sempre per quanto detto prima).
Cominciamo a contarle dalla più esterna (da un lato o dall'altro); arrivati alla cinquecentomillesima, nello spazio tra questa e la cinquecentomila e uno, possiamo tracciare la parallela a queste che dividerà i punti equamente.


Cordialmente, Alex
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Re: Un cerchio pieno pieno ...

Messaggioda Settevoltesette » 14/06/2018, 22:06

axpgn ha scritto:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Una dimostrazione leggermente alternativa è questa: scelta la pendenza della retta come sopra detto tracciamone una con tale pendenza per ogni punto, ne avremo un milione tutte distinte (sempre per quanto detto prima).
Cominciamo a contarle dalla più esterna (da un lato o dall'altro); arrivati alla cinquecentomillesima, nello spazio tra questa e la cinquecentomila e uno, possiamo tracciare la parallela a queste che dividerà i punti equamente.



Secondo me questa é la più intuitiva
Settevoltesette
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