I due numeri misteriosi

[Super Squirrel]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ho provato ad implementare l'idea descritta nel mio precedente post:

Ragionando mi è venuta un'altra idea:
ciascuna coppia che mi stampa il programma (chiamiamole "coppie speciali") è associata ad un prodotto che tra le n≥2 diverse scomposizioni in due divisori presenta una sola coppia la cui somma (posseduta da Gianni) giustifica la prima affermazione di Gianni e quindi anche la seconda affermazione di Franco. Ora Gianni tra le m≥2 coppie che si ritrova come fa a capire quale sia quella corretta? Gianni sa che tra le m coppie in suo possesso ci deve essere la "coppia speciale" già individuata da Franco e secondo me affinchè anche Gianni possa individuarla, tra le m coppie deve comparire una sola "coppia speciale".

Il calcolatore caccia queste 7 coppie (le coppie speciali sono 386 in totale):
4 - 13
75 - 80
72 - 95
75 - 96
77 - 96
80 - 99
81 - 100
Se tutto è corretto allora l'ipotesi che avevo fatto:

L'ipotesi su cui si basa questo ragionamento è che esista una sola "coppia speciale" la cui somma, tra le m≥2 scomposizioni, presenta un'unica "coppia speciale".

non sussiste, essendoci 7 coppie speciali (tra le 386 totali) che soddisfano la suddetta condizione.
A questo punto ci deve essere un ragionamento diverso che giustifica la seconda affermazione di Gianni...

@axpgn
Se ti viene in mente qualcosa fammi sapere che provo a dare il tutto in pasto al calcolatore per vedere cosa ne esce!

P.S.
@Drazen77
Per caso i 2 numeri misteriosi si trovano tra le 7 coppie che ho riportato?

[Drazen77]

@Drazen77
Per caso i 2 numeri misteriosi si trovano tra le 7 coppie che ho riportato?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sì, tra quelle sette coppie c'è la coppia giusta.

[Super Squirrel]

Provo a formalizzare e chiarire il mio ragionamento:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dal momento che la prima affermazione è di Franco, decido di partire analizzando i prodotti $P$, che variano tra 4=2*2 e
10000=100*100. Chiamerò prodotti speciali i valori di $P$ per cui:
- esistono $n>=2$ diverse coppie di divisori compresi tra 2 e 100;
- tra le $n$ somme $S$ delle $n$ coppie di divisori, solo una (che chiamerò somma speciale) può essere scomposta in $m>=2$ diverse coppie di addendi il cui prodotto possiede 2 o più diverse coppie di divisori.

Chiamerò coppia speciale la coppia di divisori associata alla somma speciale associata al prodotto speciale.
La corrispondenza tra prodotto speciale e coppia speciale è biunivoca, non lo è invece quella tra prodotto speciale e somma speciale e quella tra somma speciale e coppia speciale.

Se Franco è in possesso di un prodotto speciale risulta giustificata la sua prima affermazione.
Se Gianni è in possesso della somma speciale associata al prodotto speciale posseduto da Franco, non solo egli non potrà identificare subito i due numeri misteriosi, ma sarà anche giustificata la sua prima affermazione e di conseguenza anche la seconda affermazione di Franco.
Dalla seconda affermazione di Franco, Gianni deduce di essere in possesso della somma speciale associata al prodotto speciale posseduto da Franco e che quindi tra le $m$ coppie di addendi in suo possesso ci deve essere la coppia speciale associata al prodotto speciale posseduto da Franco. A questo punto però, se tra le $m$ coppie ci fosse più di una coppia speciale, Gianni non avrebbe nessun elemento per individuare tra di esse quella corretta (ossia quella associata al prodotto speciale posseduto da Franco); quindi possiamo concludere che i due numeri misteriosi devono essere costituiti dalla coppia speciale associata al prodotto speciale a cui è associata una somma speciale che tra le $m$ coppie di addendi presenta un'unica coppia speciale.

Secondo voi funziona come ragionamento? In caso contrario dov'è che sbaglio?

In ogni caso provando ad implementare il tutto, ottengo come risposta dal calcolatore le seguenti 7 coppie:
4 - 13
75 - 80
72 - 95
75 - 96
77 - 96
80 - 99
81 - 100

Sì, tra quelle sette coppie c'è la coppia giusta.

Personalmente credo che la soluzione in tuo possesso sia la coppia 4 - 13, ma se il ragionamento e l'implementazione del programma sono corretti, come mai le altre 6 coppie sarebbero da escludere?

[axpgn]

Il ragionamento funziona ma siamo sempre lì, non sposta di un centimetro quanto detto finora ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Franco può fare la prima affermazione perché il numero che ha in mano ha una caratteristica ben precisa: può essere scomposto in almeno due coppie di divisori; analogamente Gianni può fare la sua perché anche il suo numero ha una caratteristica ben precisa: può essere scomposto solo in coppie di addendi che moltiplicati fra loro danno numeri che hanno almeno due coppie di divisori; ecc.
Però la caratteristica che devono avere questi numeri affinché Gianni possa fare la sua seconda affermazione ancora non la sappiamo

Cordialmente, Alex

[Super Squirrel]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Però la caratteristica che devono avere questi numeri affinché Gianni possa fare la sua seconda affermazione ancora non la sappiamo

Con questa condizione

A questo punto però, se tra le $m$ coppie ci fosse più di una coppia speciale, Gianni non avrebbe nessun elemento per individuare tra di esse quella corretta (ossia quella associata al prodotto speciale posseduto da Franco)

sono riuscito a ridurre le coppie da 386 a 7, tra cui è stata confermata la presenza dei due numeri misteriosi... magari non è proprio da buttare, chissà!

[axpgn]

Non dico quello (infatti il tuo procedimento logico non fa una piega), il fatto è che la soluzione ancora non l'abbiamo

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

È un problema pubblicato dal matematico Hans Freudenthal nel 1969, in cui i protagonisti sono il Professor Somma e il Professor Prodotto.
Successivamente è stato rivisitato dai matematici David J. Sprows e Martin Gardner e ha preso il nome "Il problema impossibile".

Soluzione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Franco: "Io non sono in grado di determinarli."
Questa frase ci permette di dedurre che Franco abbia un numero P-ambiguo.
(Definiamo P-ambiguo (Prodotto-ambiguo) nel range [a-b] un numero intero che possa essere scomposto in due fattori in più di un modo. I fattori devono essere scelti nel range [a-b]).
Nel range [2-100] i numeri P-ambigui sono 3157 (con molta pazienza potete trovarli ).

Gianni: "Io sapevo che tu non saresti stato in grado di determinarli."
Questa frase ci permette di dedurre che Gianni abbia un numero SP-ambiguo.
(Definiamo SP-ambiguo un numero se e solo se, scomponendo tale numero in tutte le possibili coppie di addendi e calcolando il prodotto di ciascuna di tali coppie, si ottiene in ogni caso un numero P-ambiguo).
Nel range [2-100] i numeri SP-ambigui sono 10 e per la precisione: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47 e 53.

Franco: "Beh, se dici così allora ho capito che numeri siano!"
Questa frase ci permette di dedurre che Franco abbia un numero P-ambiguo, a cui corrisponde uno e un solo numero SP-ambiguo.
Nel range [2-100], esistono 86 numeri di questo tipo.
Riporto l'elenco, che è indispensabile per concludere il problema.
I numeri che può avere Franco sono quelli della terza colonna.


Gianni: "Allora adesso lo so anch'io!"
I numeri che può avere Gianni sono quelli della quarta colonna.
Se Gianni è in grado di pronunciare quella frase è perché ha il numero 17.
Infatti il 17 è l'unico numero SP-ambiguo a cui corrisponde uno e un solo numero P-ambiguo.
Se, ad esempio Gianni avesse il numero 23 non potrebbe decidere quale dei numeri 130, 112, 76 avrebbe Franco. Stesso discorso per gli altri numeri: 11, 27, 29, 35, e così via.

Il numero P-ambiguo cercato è quindi il 52, mentre il numero SP-ambiguo è il 17.

Da ciò si deduce finalmente:
s = 17
p = 52
x = 4
y = 13

[axpgn]

Ma l'avevo già detto ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

... E qui c'è il mio errore: tra le varie scomposizioni di $11$ anche $4+7$ danno un prodotto con due sole coppie di divisori quindi Gianni non può essere sicuro che solo $2+9$ siano quelli giusti ... l'avevo notato già ieri sera ma mi ero stufato e non avevo (ho) voglia di proseguire ad analizzarne altri con questo metodo ...

Cordialmente, Alex