I due numeri misteriosi

Messaggioda Drazen77 » 24/06/2018, 16:18

Ho scelto due numeri interi compresi tra 2 e 100.
Ho incontrato Gianni e Franco (due logici perfetti) e a Gianni ho detto il risultato della somma dei due numeri che ho scelto, mentre a Franco ho detto il prodotto.
Per determinare i numeri che ho scelto i due si sono detti:

Franco: "Io non sono in grado di determinarli."
Gianni: "Io sapevo che tu non saresti stato in grado di determinarli."
Franco: "Beh, se dici così allora ho capito che numeri siano!"
Gianni: "Allora adesso lo so anch'io!"

Quali sono i due numeri?
Che ragionamento hanno fatto per riuscire a determinarli?
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Re: I due numeri misteriosi

Messaggioda axpgn » 24/06/2018, 18:45

Penso che siano ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$2$ e $9$


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Re: I due numeri misteriosi

Messaggioda Drazen77 » 25/06/2018, 11:36

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il risultato dovrebbe essere diverso. Come hai ottenuto 2 e 9?
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Re: I due numeri misteriosi

Messaggioda axpgn » 25/06/2018, 13:13

Ho scritto "penso che lo siano, non che lo sono ... :-D

Comunque ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il ragionamento che ho fatto è il seguente ...

Data la prima affermazione di Franco, il prodotto deve avere almeno due coppie di divisori (oltre a uno e sé stesso); il primo così fatto è il $12=2*6=3*4$ e di conseguenza la somma sarebbe $8$ o $7$.
Se fosse $8$, le possibili scomposizioni in due addendi sarebbero $8=2+6=3+5$; ora il prodotto della prima coppia fa $12$ come detto e permetterebbe a Gianni di dire "Lo sapevo che non lo sapevi" ma il secondo fa $15$ che ha una sola coppia di divisori e avrebbe permesso a Franco di determinarli. Se fosse $7$ anche peggio.
Quindi $12$ non può essere.
Proseguendo, il $18=2*9=3*6$ è un candidato migliore, con le somme $2+9=11$ e $3+6=9$; quest'ultimo non va bene (per gli stessi motivi di prima) mentre l'$11$ sì, perché tutte le scomposizioni $11=2+9=3+8=4+7=5+6$ portano a numeri con almeno due coppie di divisori, rendendo quindi possibile la frase di Gianni "Lo sapevo ...".
Non solo, a questo punto Franco capisce che la somma in "possesso" di Gianni è $11$ e quindi può sapere quali sono i due numeri.
E qui c'è il mio errore: tra le varie scomposizioni di $11$ anche $4+7$ danno un prodotto con due sole coppie di divisori quindi Gianni non può essere sicuro che solo $2+9$ siano quelli giusti ... l'avevo notato già ieri sera ma mi ero stufato e non avevo (ho) voglia di proseguire ad analizzarne altri con questo metodo ... :-D


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Re: I due numeri misteriosi

Messaggioda Super Squirrel » 06/07/2018, 15:43

@axpgn
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Anche io ho fatto un ragionamento simile, ma non ho ben capito la parte conclusiva del tuo ragionamento.
Provo a fare un'ipotesi, dimmi se sbaglio.
Il prodotto $P$ sarà un numero compreso tra 4 (=2*2) e 10000 (=100*100) che possiede $n>=2$ diverse coppie di divisori (in modo da giustificare la prima affermazione di Franco) compresi tra 2 e 100. Se la somma $S$ della generica coppia di divisori può essere scomposta in $m>=2$ diverse coppie di addendi (in modo che anche Gianni non sia in grado di determinare i 2 numeri) e il prodotto di ognuna delle $m$ coppie possiede almeno 2 diverse coppie di divisori, allora sarà giustificata anche la prima affermazione di Gianni.
A questo punto se solo 1 delle $n$ coppie di divisori (la cui somma è il numero dato a Gianni) giustifica la prima affermazione di Gianni, allora Franco capisce quali sono i 2 numeri. La suddetta conclusione però si basa sull'ipotesi che esista una sola coppia di numeri compresi fra 2 e 100 che rispetti le suddette condizioni.
E' corretto o intendevi altro?
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Re: I due numeri misteriosi

Messaggioda axpgn » 06/07/2018, 18:43

Concordo tranne l'ultima frase: fermati lì, non è necessaria l'ipotesi che aggiungi.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per Franco non c'è bisogno d'altro. Mentre per Gianni, non solo il suo numero (la somma) si deve scomporre in almeno due coppie di addendi, non solo queste due (o più) coppie devono dare come prodotto un numero che abbia almeno due coppie di divisori ma deve anche accadere che solo uno dei prodotti abbia solo una delle coppie di divisori che permetta di fare questi ragionamenti.
Il prodotto $18$ che citavo non soddisfa quest'ultima richiesta.
Si dovrebbe proseguire nell'analizzarne altri ma la faccenda si presenta faticosa :D


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Re: I due numeri misteriosi

Messaggioda Super Squirrel » 06/07/2018, 20:59

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axpgn ha scritto:Concordo tranne l'ultima frase: fermati lì, non è necessaria l'ipotesi che aggiungi.

Intendi questa?
Super Squirrel ha scritto:La suddetta conclusione però si basa sull'ipotesi che esista una sola coppia di numeri compresi fra 2 e 100 che rispetti le suddette condizioni.


axpgn ha scritto:... ma deve anche accadere che solo uno dei prodotti abbia solo una delle coppie di divisori che permetta di fare questi ragionamenti.
Il prodotto 18 che citavo non soddisfa quest'ultima richiesta.

Non ho capito cosa intendi! :(

Ho implementato un programma che controlla tutte le condizioni esposte nel precedente post. Espongo brevemente l'algoritmo:
- considero un valore di $P$ (che varia da 4 a 10000) ->
-> trovo le $n$ coppie diverse di divisori associate a $P$. Se $n>=2$ ->
-> analizzo la $S$ associata ad ognuna delle $n$ coppie contando (attraverso una variabile $c$) per quante di esse la prima affermazione di Gianni risulta verificata (ossia quando le $m$ coppie diverse di addendi associate ad $S$ presentano tutte due o più coppie diverse di divisori). Una volta analizzate le $n$ somme se $c=1$ mostro la coppia tra le $n$ che ha fatto incrementare $c$ per poi continuare con gli altri $P$.
Il programma mostra moltissimi risultati, ecco i primi 5:
2 - 9
3 - 8
7 - 4
2 - 25
13 - 4
Ipotizzando che il programma funzioni correttamente, non saprei quali altre condizioni imporre per trovare questi 2 numeri misteriosi!
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Re: I due numeri misteriosi

Messaggioda axpgn » 06/07/2018, 21:53

Super Squirrel ha scritto:Non ho capito cosa intendi! :(

Anch'io faccio fatica a capirmi :lol:

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Come hai potuto vedere la mia risposta è stata proprio $2$ e $9$ ma l'OP ha detto che è un'altra, e anch'io avevo ed ho dei dubbi; quando sapremo la sua soluzione forse capiremo un po' di più ...

Comunque riprendo proprio quella mia proposta di soluzione per cercare di spiegarmi meglio ...

Poniamo che il prodotto sia $p=18=2*9=3*6$; ha due coppie diverse di divisori quindi Franco non può conoscere quali siano i due numeri da indovinare.

Se $p=18$ allora la somma $s$ può essere solo $s=11$ o $s=9$
Se il numero conosciuto da Gianni fosse $s=9$ le coppie di addendi sarebbero $2+7=3+6=4+5$ con i tre prodotti $14, 18, 20$ ed uno di essi (il $14$) avrebbe solo una coppia di divisori perciò in tal caso Gianni non potrebbe fare la sua prima affermazione
Se Gianni invece avesse $11=2+9=3+8=4+7=5+6$, tutti i quattro prodotti $18, 24, 28, 30$ avrebbero almeno due coppie di divisori quindi Gianni potrebbe dire quello che ha detto
Andiamo avanti ...
Franco già sapeva che Gianni poteva avere o $11$ o $9$ ma dopo questa affermazione di Gianni può escludere il $9$ e quindi rimanendo l'$11$, sa anche i due numeri sono il $2$ e il $9$.
Fin qui penso che ci siamo tutti, no? Ok, proseguiamo ...
Gianni ovviamente sa qual è il suo numero ma tra i quattro prodotti possibili ottenuti dalla scomposizione dell'$11$ quale scegliere? Quali elementi ha in mano? L'unico che mi viene in mente è che il prodotto dovesse avere solo due coppie di divisori e Franco ha potuto capire perché scartandone uno (dalla risposta di Gianni) gli è rimasto l'altro.
Ma fosse anche così (che è stato il mio pensiero) rimangono ancora due possibilità: $18$ e $28$
Proseguire a mano non me la sento ... :D



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Re: I due numeri misteriosi

Messaggioda Super Squirrel » 07/07/2018, 15:31

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axpgn ha scritto:Fin qui penso che ci siamo tutti, no? Ok, proseguiamo ...

E fin qui ci siamo! :-D
axpgn ha scritto:Gianni ovviamente sa qual è il suo numero ma tra i quattro prodotti possibili ottenuti dalla scomposizione dell'11 quale scegliere? Quali elementi ha in mano? L'unico che mi viene in mente è che il prodotto dovesse avere solo due coppie di divisori e Franco ha potuto capire perché scartandone uno (dalla risposta di Gianni) gli è rimasto l'altro.
Ma fosse anche così (che è stato il mio pensiero) rimangono ancora due possibilità: 18 e 28

Abbiamo capito come fa Franco a capire quali siano i 2 numeri misteriosi, resta però da capire come fa a capirlo anche Gianni.
Non credo di aver capito bene qual è la soluzione da te proposta al riguardo.
L'ipotesi che avevo fatto inizialmente (che poi si è rivelata falsa) voleva appunto sciogliere questo nodo.
Ragionando mi è venuta un'altra idea:
ciascuna coppia che mi stampa il programma (chiamiamole "coppie speciali") è associata ad un prodotto che tra le $n>=2$ diverse scomposizioni in due divisori presenta una sola coppia la cui somma (posseduta da Gianni) giustifica la prima affermazione di Gianni e quindi anche la seconda affermazione di Franco. Ora Gianni tra le $m>=2$ coppie che si ritrova come fa a capire quale sia quella corretta? Gianni sa che tra le $m$ coppie in suo possesso ci deve essere la "coppia speciale" già individuata da Franco e secondo me affinchè anche Gianni possa individuarla, tra le $m$ coppie deve comparire una sola "coppia speciale". Ciò non avviene nel caso di p=18 e s=11, infatti avremo che le $m=4$ coppie sono:
2- 9 (coppia speciale)
3 - 8 (coppia speciale)
4 - 7 (coppia speciale)
5 - 6

L'ipotesi su cui si basa questo ragionamento è che esista una sola "coppia speciale" la cui somma, tra le $m>=2$ scomposizioni, presenta un'unica "coppia speciale".
Cosa ne pensi, lo trovi valido come ragionamento?
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Re: I due numeri misteriosi

Messaggioda axpgn » 07/07/2018, 18:00

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Così d'acchito mi sembra quello che volevo dire io :-D
Però, premesso che nel mio esempio per me le coppie "speciali" sono solo due (escludo $3-8$), è necessario definire quali siano le caratteristiche di queste coppie speciali ... e secondo me la caratteristica più probabile è che la coppia speciale deve avere solo due coppie di divisori e non di più ... :D ...IMHO


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