Triangoli "rovesciati"

[axpgn]

Disponete i numeri da $1$ a $n$ (dove $n$ è un numero triangolare) per formare un triangolo in modo tale che la differenza tra due numeri vicini si trovi giusto sotto di essi.
Nella figura due esempi per $n=3$ (base $2$) e per $n=6$ (base $3$)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Riuscite a "disegnare" quelli per $n=10$ (base $4$) e per $n=15$ (base $5$) ?

Cordialmente, Alex

[Settevoltesette]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

a b d f
c e g
h i
l
(a,b,c) (b,d,e) (d,f,g) (c,e,h) (e,g,i) (h,i,l) almeno 3 sono linearmente dipendenti, quindi al ribasso si ha almeno una tripletta 4 volte più grande di un'altra, sempre al ribasso considero la tripletta dove non importa l'ordine (1,2,3) allora si deve avere anche (4,8,12) impossibile!

Con 15 numeri ancora peggio!!!

[axpgn]

Si può, si può ...

[Settevoltesette]

Mmm...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se considero le 6 triplette (10,8,6) = 2(5,4,3) la tripletta (9,6,3) = 3(3,2,1) la tripletta 2(3,2,1) e la tripletta (7,5,1) in effetti non c'è un assurdo (sono andato ad occhio, senza considerare l'ordine ne tanto meno se siano triplete possibili)


Con 15 ho 10 triplette quindi almeno 7 linearmente indipendenti devo non avere mai una tripletta 6 volte maggiore di un'altra ( al ribasso 6(1,2,3) mi darebbe un assurdo) però uno stesso numero si ripete al massimo 3 volte (per esempio l'elemento "e" nella mia soluzione errata di prima) quindi
(1,2,3) 2(1,2,3) 3(1,2,3) 4(1,2,3) 5(1,2,3) (7,11,13) (14, 4, 9) funziona (con le considerazioni di sopra).

Quindi ho cannato

Per il momento mi fermo qui, perché le strade che vedo per ora sono contose... mi serve un' idea nuova

[Alemin]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per 10
8 10 3 9
2 7 6
5 1
4

[axpgn]

Giusto per dire, c'è ne almeno un altro con $n=10$ ... aspettiamo quello con $n=15$ ...

Cordialmente, Alex

[Alemin]

Giusto per dire, c'è ne almeno un altro con $n=10$ ...

Vale la versione speculare(invertendo l'ordine delle righe) come seconda soluzione o è proprio un altro ordine di numeri?
Ps : è garantito che funziona anche con 15 o dobbiamo verificarlo noi?

[Settevoltesette]

Nella ricerca di una regola ho trovato questo

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

credo ci siano 2 costruzioni possibili per ogni triangolo...

1 3
2

2 3
1

2 6 5
4 1
3

4 6 1
2 5
3

8 10 3 9
2 7 6
5 1
4

9 10 3 8
1 7 5
6 2
4

per oggi mi fermo qui.

[axpgn]

@Alemin
No, è un altro ordinamento, non intendo la versione riflessa (da destra a sinistra invece che viceversa, questo intendevi con speculare?) ... difatti, noto ora che Settevoltesette l'ha trovata ...

Garantito che esiste per $n=15$ ...

@Settevoltesette
Bene per la seconda versione a $n=10$, aspettiamo quella a $n=15$ ...

Non so quante versioni possano esistere per ogni triangolo ma credo pochissime ...

Cordialmente, Alex

[Settevoltesette]

Ma esiste una soluzione generale elementare del problema o dobbiamo andare a tentativi, perché le combinazioni di numeri già con n = 10 sono tantine...