Indovinelli: numeri

[3m0o]

Vi propongo questi tre indovinelli/problemini puramente a carattere matematico. Per il primo sono sicuro che la soluzione che ho trovato sia giusta, per il secondo indovinello sono abbastanza sicuro di aver trovato una soluzione ma forse c'è una via più semplice, il terzo non ci ho ancora provato onestamente.

1) Il divisore di 99
Il numero $k$ ha la seguente proprietà: Per ogni $n$ divisibile per k, allora anche il numero ottenuto da $n$ invertendo l'ordine delle sue cifre è divisibile per $k$. Dimostrare che $k$ è un divisore di 99.

2) Numeri sulla lavagna
Su una lavagna c'è una stringa di numeri composta da "zero", "uno" e "due".
Un tale inizia a cancellare diverse coppie scrivendo al loro posto il numero diverso da entrambi, ad esempio scrive 0 al posto della coppia (1,2), scrive 1 al posto della coppia (0,2) e scrive 2 al posto della coppia (0,1).
Dimostrare che se alla fine rimane un numero solo sulla lavagna, questo non dipende dall'ordine con cui sono state cancellate le coppie.

3) 1000 numeri
Sempre su una lavagna (molto grande) e più precisamente sulla prima riga ci sono scritti 1000 numeri
Scriviamo sulla seconda riga un'altra serie di numeri seguendo questa regola: sotto ogni numero $n$ scriviamo il numero $m$ che indica quante volte $n$ è presente nella prima riga
Scriviamo sulla terza riga un'altra serie di numeri seguendo la medesima regola: sotto ogni numero $x$ scriviamo il numero $y$ che indica quante volte $x$ è presente nella seconda riga.
Iteriamo il ragionamento...
a) Dimostrare che c'è una riga uguale alla precedente
b) Dimostrare che l'undicesima riga è uguale alla dodicesima
c) Trovare un'esempio di prima riga tale che la decima riga sia differente dall'undicesima riga.

[axpgn]

La terza la so

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Vedi qui

Cordialmente, Alex

[axpgn]

La seconda invece

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dovrebbe essere parente di questa

La prima l'hai già risolta quindi che m'impegno a fare?

Cordialmente, Alex

[3m0o]

La seconda invece

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dovrebbe essere parente di questa

La prima l'hai già risolta quindi che m'impegno a fare?


Cordialmente, Alex

Ciao, si dovrebbe essere giusto però...

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non vedo una dimostrazione, data una generica stringa, dell' indipendenza tra l' ordine in cui cancelli le coppie e risultato se è unico.

[axpgn]

Sì, certo ...

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Infatti ho detto che è "parente" di quella ... però una dimostrazione è una altra cosa ... semplicemente penso che si possa (debba?) partire da lì, dal concetto di "parità" ...

Cordialmente, Alex