L'isola del tesoro

[axpgn]

Un pirata decide di seppellire il suo tesoro su un'isola deserta, vicino alla spiaggia dove si trovano due grossi massi molto simili fra loro ($A$ e $B$) e tre palme da cocco ($C_1, C_2, C_3$) un po' più all'interno.
Partendo dalla prima palma ($C_1$), traccia un segmento $C_1A_1$ congruente e perpendicolare a $C_1A$ e diretto esternamente rispetto al perimetro del triangolo $AC_1B$.
Similmente, sempre da $C_1$, traccia un segmento $C_1B_1$ congruente e perpendicolare a $C_1B$ e diretto anch'esso esternamente rispetto al perimetro del triangolo $AC_1B$.
Quindi marca come $P_1$ l'intersezione tra $AB_1$ e $A_1B$.
Spostandosi poi alla seconda ($C_2$) e alla terza palma ($C_3$), ripete esattamente le stesse operazioni, trovando i punti $P_2$ e $P_3$.
Ed infine, seppellisce il suo tesoro nel circocento del triangolo $P_1P_2P_3$.
Tornando all'isola anni dopo, si accorge che un fortissimo uragano ha cancellato ogni palma da cocco che esisteva sull'isola.
Come può ritrovare il suo tesoro?

Cordialmente, Alex

[anto_zoolander]

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chiami salvini e giù di ruspe che di tesori ne trovi quanti ne vuoi

[orsoulx]

Soluzione sporca:

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Se esiste un’unica soluzione questa deve necessariamente coincidere con l’unico punto univocamente determinato dai due massi: il loro punto medio.

Soluzione lavata:

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Se $ C_i $ è un qualsiasi punto del piano i triangoli $ AC_iB_1 $ e $ A_1C_iB $ sono congruenti, perché la rotazione di $ +-90° $ di centro $ C_i $ trasforma (con le condizione un po’ incasinate del problema) uno dei due nell’altro. Quindi le rette, perpendicolari, $ AB_1 $ e $ A_1B $ si intersecano $P_i$: un punto della circonferenza di diametro $ AB $. Circonferenza che, nel caso di di tre punti $P_i$ distinti (quando questo non succede è un’interessante complicazione), sarà quella circoscritta al triangolo.

Ciao

[Settevoltesette]

@orsux
Però...

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Potrebbe coincidere anche con uno dei punti dei 2 massi.

Inoltre non viene specificato che i 2 segmenti uscenti per esempio da c1 abbiano la stessa "direzione" (destra/sinistra) del triangolo abc1 ma solo che i segmenti uscenti non attraversano in parte quel triangolo (la rotazione potrebbe non esserci).

Io ho provato a fare così

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Dato che le palme hanno disposizione casuale avevo pensato ad una soluzione "degenere" in cui le palme sono allineate verticalmente rispetto ad i massi, in questo modo il punto cercato dovrebbe venire sull'asse di simmetria dei 2 massi, ma non nel centro... però poi mi sono fermato, perché trovavo troppe complicazioni.

[axpgn]

Soluzione sporca:

Soluzione lavata:

Toglimi una curiosità ...

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... perché la rotazione di $ +-90° $ di centro $ C_i $ trasforma (con le condizione un po’ incasinate del problema) uno dei due nell’altro.

La rotazione l'hai "vista" semplicemente leggendo il testo?

Cordialmente, Alex

[Settevoltesette]

ho riletto con più calma il problema e la soluzione di orsoulx, è davvero bella.
axpgn da dove tiri fuori questi problemi? (mi riferisco a questo e a quello dei punti nel piano da dividere)

[axpgn]

@Settevoltesette

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Un po' qui e un po' là ... leggo, quando trovo qualcosa di interessante me lo "segno" e poi, forse, lo propongo qui ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Perdonatemi il ritardo nelle risposte.

Potrebbe coincidere anche con uno dei punti dei 2 massi.

Non direi; hai ragione in parte: anche se posizionarlo automaticamente nel punto medio è un po' esagerato, deve per simmetria appartenere all'asse di simmetria dei due massi.

i 2 segmenti uscenti per esempio da c1 abbiano la stessa "direzione" (destra/sinistra)..

Nel testo Alex scrive: "e tre palme da cocco (C1,C2,C3) un po' più all'interno". Ho interpretato questa affermazione come: massi sulla spiaggia paralleli al bagnasciuga, palme più lontane dal mare. In questo caso i triangoli masso, palma, masso non possono essere degeneri e le rotazioni dei segmenti nella costruzione hanno sicuramente versi opposti.
Permane però una 'criticità" costruttiva, superabile per continuità: cosa succede quando due (o tre) palme diverse portano a punti $ P_i $ coincidenti?
Determinare quando questo si verifica è un esercizio interessante, posterò il quesito in "scervelliamoci un po'".

La rotazione l'hai "vista" semplicemente leggendo il testo?

No. Ho fatto uno schizzo e sfruttato il fatto che, dalla soluzione sporca, pensavo già che i segmenti da intersecare dovevano essere perpendicolari.

Ciao

[axpgn]

Ah, allora sei umano