Differenza tra aree

[axpgn]

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... e il cateto $\bar{EF}$ misura $1/2$, cioè $1/6$ del cateto corrispondente $\bar{AB}$.

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Perché? Lo devi dimostrare ...
Che siano simili non c'è dubbio ma tu non conosci nessuno dei lati del triangolino piccolo quindi come puoi dire che il rapporto piccolo/grande vale $1/6$?
D'altronde se conoscessi già il rapporto piccolo/grande che ti serve conoscere la lunghezza del lato del quadratino?
A quel punto sapresti già che il rapporto tra le aree è $1/36$

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

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Che il cateto $\bar{EF}$ misuri $1/2$ l'hai dimostrato tu con Talete.
In aggiunta a quello volevo solo evidenziare graficamente il rapporto tra i due triangoli simili.

[axpgn]

Ah, beh ... Ok

[veciorik]

Senza ricorrere esplicitamente a formule o teoremi ..... basta contare le celle del reticolo, il disegno mostra che:

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1. l'area del triangolino rosso è 1/108 del quadrato grande e 1/12 del quadrato piccolo,
2. il segmento obliquo taglia a metà un lato del quadrato piccolo e l'altro lato a 1/3 e 2/3.

La chiave è la struttura reticolare, le cui celle misurano 1/6 dei cateti del triangolo grande.
Perché li ho divisi in 6 parti ?
Perché 6 è il m.c.m. delle loro misure, 2 e 3: in questo modo tutti i pezzi rilevanti stanno sui nodi del reticolo.

L'unico prerequisito è la possibilità di costruire un reticolo di rettangoli uguali.
Non l'ho mai messa in dubbio, nella sezione dei giochi: viva Euclide, riposino in pace Einstein e Riemann.
Non volevo scomodare Talete: a dir la verità ho dimenticato i suoi teoremi.

[axpgn]

Scusami veciorik ma non ci siamo …

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Dai per scontato che i punti di intersezione tra lati del quadratino e lato lungo del triangolo grande stiano sul reticolo ma questo è da dimostrare; se così non fosse allora basta dire che si vede a occhio che l'intersezione "superiore" è esattamente a metà ed è finita lì ... IMHO

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Non per polemica ma per illustrare il mio modo personale di "giocare a matematica".
Confesso che non studio geometria da quasi cinquant'anni e fatico a maneggiare teoremi e formule.
Mi baso su intuizioni e amo le simmetrie.

Dov'è il punto debole della seguente "dimostrazione" che svolgo pedissequamente per agevolare le eventuali contestazioni ?

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Disegno un reticolo di 6 x 9 maglie rettangolari aventi i lati in rapporto 3 : 2.

Il rettangolo composto dalle 6 x 9 = 54 maglie è quadrato ed è scomponibile in nove quadrati da 2 x 3 = 6 maglie.
Serve dimostrarlo ?

Partendo dal vertice nord ovest del quadrato grande, traccio le diagonali di sei maglie contigue muovendo verso sud est fino al lato est, arrivando in un punto distante sei maglie sia dal lato nord sia dal lato ovest del quadrato grande.

Le distanze di questo punto dai due lati sono in rapporto 3 : 2 come le maglie del reticolo.

Ognuna delle sei maglie risulta così suddivisa in due triangoli uguali, di area mezza maglia, cioè un dodicesimo dei quadrati piccoli 2 x 3.

Le figure disegnate da Drazen77 sono il quadrato piccolo al centro ed il triangolo di nord est della quarta maglia.

La dimostrazione si completa dimostrando che la concatenazione delle sei diagonali forma un tratto rettilineo, cioè che i sette nodi toccati sono allineati.

Sostengo che questo è vero per la simmetria della costruzione.

Dove sbaglio ? Dove serve Talete ?

[axpgn]

Ti ho mai chiesto di usare Talete? Ho chiesto di dimostrare quanto sostenevi in qualunque modo volessi.
Questa che hai scritto è una dimostrazione, la quale sta in piedi grazie alla prima frase.
Mi spieghi dal primo disegno come è possibile desumere questa costruzione? A occhio? Dovevamo misurare?

Cordialmente, Alex

EDIT: a occhio si può fare. Sorry.

[teorema55]

@Alex: SI', pienamente.

Grazie comunque a tutti voi ragazzi che avete contribuito a dissipare un dubbio (anzi, a colmare una voragine lasciata dal troppo tempo trascorso dai bei tempi del liceo) e a farmi in qualche modo e per qualche momento ritornare giovane.

Ciao a tutti, ancora grazie.

Affettuosamente.

Marco

[Super Squirrel]

Io l'ho risolto così:

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$ { ( A_1+A_2+A_3+A_4=(2+x)/2+1+(xy)/2+(1+y)/2=3 ),( x/3=y/2 ):} $

EDIT: avevo dimenticato lo spoiler!