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$1-1/12$

Giusto, ma, come al solito, a questo punto ti chiedo come abbia fatto a determinare che quel triangolino misuri 1/12

Il lato alto del quadratino è tagliato a metà dal lato lungo del triangolo grande (Talete) quindi il cateto maggiore del triangolino misura $1/2$
Il triangolino è simile al triangolo rettangolo formato dal lato lungo del triangolo, dal lato alto del quadrato grande e da parte del lato destro del quadrato grande; il rapporto tra i cateti del triangolo grande è $3$ a $2$ quindi il cateto minore del triangolino piccolo vale $1/3$. Il resto lo lascio a te ...

Dopo ore che mi scervello getto la spugna e leggo le motivazioni della soluzione proposta da Alex. Ma.…………...non capisco perché "Il lato alto del quadratino è tagliato a metà dal lato lungo del triangolo grande (Talete) ". Ti chiedo umilmente, Alex, un gentile chiarimento.

Facciamo che l'origine sta nel circolino in basso a sinistra.
Le rette $y=0, y=1, y=2, y=3$ sono un fascio di parallele orizzontali.
La retta $x=3$ e la retta che contiene il segmento che va da $(3,1)$ a $(0,3)$ sono trasversali al fascio di parallele sopradetto.
La retta $y=2$ taglia a metà il segmento che va da $(3,1)$ a $(3,3)$ e lo interseca nel punto $(3,2)$.
Per Talete allora anche il segmento che va da $(3,1)$ a $(0,3)$ è tagliato a metà dalla retta $y=2$ (che è pure quella che contiene il lato alto del quadratino); il punto di intersezione è $(3/2, 2)$ ma questo è anche il punto medio del lato alto del quadratino.

Denominiamo i vari circoletti con $A, B, ..., O, P$ da sinistra a destra e dall'alto in basso.
Avremo il triangolo grande $ALN$ e il quadratino $FGKJ$.
Chiamiamo $S$ il punto di intersezione tra $LA$ e $FG$ e chiamiamo $T$ il punto di intersezione tra $LA$ e $GK$.
Le rette $AD, EH, IL, MP$ sono un fascio di parallele? Sì
Le rette $LD$ e $LA$ sono due trasversali tagliate da un fascio di parallele? Sì
È vero che $DH=HL$? Sì
È vero perciò che le tre parallele $AD, EH, IL$ dividono il segmento $LD$ in due parti uguali? Sì
E quindi, in forza del teorema di Talete, è vero che le stesse tre rette dividono in parti uguali il segmento $LA$? Sì
E quindi il punto $S$ è il punto medio di $LA$? Sì
Se $S$ è il punto medio di $LA$ allora la sua ascissa sarà $3/2$ (perché $(3+0)/2$) e la sua ordinata sarà $2$ (perché $(1+3)/2$), ma guarda caso queste sono anche le coordinate del punto medio di $FG$ quindi $SG$ misura $1/2$.
Soddisfatto?

$\hat{A B C}$ e $\hat{D E F}$ sono triangoli simili e il cateto $\bar{EF}$ misura $1/2$, cioè $1/6$ del cateto corrispondente $\bar{AB}$.