Per un pugno di centesimi

Messaggioda orsoulx » 14/10/2018, 10:32

Dato un insieme di monetine disposte su un tavolo, con una faccia appoggiata sulla sua superficie, chiamiamo 'forza' di una qualsiasi di queste, il numero di monetine che si trovano ad una distanza (centro-centro) assegnata $ d $ dalla prima. Chiamiamo, inoltre, 'potenza' della collezione di monetine la forza di quella più debole.
Disponendo di un Euro, cambiabile in monetine del medesimo valore, potendo decidere la lunghezza $ d $ ed utilizzando un tavolo sufficientemente ampio:
(a) qual è la massima potenza ottenibile disponendo opportunamente le monete (non necessariamente tutte) sul tavolo?
(b) se vi viene corrisposta una somma uguale al prodotto della potenza per il valore complessivo appoggiato, quant'è la massima vincita possibile?
(c) qual è il minimo valore di $ d $ che consente le disposizioni volute?

Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.
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Re: Per un pugno di centesimi

Messaggioda axpgn » 14/10/2018, 16:56

Mah …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Non riesco a "vedere" qualcosa di meglio di una disposizione esagonale con il centro e quindi una potenza al massimo di $3$.
"Disegnando" due esagoni sovrapposti dove il centro dell'uno è un vertice dell'altro si possono usare tutte e dieci le monete da dieci centesimi per un totale di tre euro.
La minima distanza dovrebbe essere $d=2r$ dove $r$ è il raggio delle monete.


Cordialmente, Alex
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Re: Per un pugno di centesimi

Messaggioda orsoulx » 15/10/2018, 11:38

Buon inizio: la scelta delle monetine da 10 centesimi è la più semplice per osservare i vantaggi di una diversa disposizione.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Si può aumentare il ricavo del $20%$ con $ d>=2 r sqrt(2+sqrt(3)) $.

Ciao
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Re: Per un pugno di centesimi

Messaggioda axpgn » 15/10/2018, 23:56

Mi sa che ho capito poco … :-D

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Mi è tornato in mente quel problemino sui 4 punti del piano con due distanze e una delle soluzioni divideva le sei distanze in due classi … perciò oltre a centrare l'esagono posso centrare anche i triangoli equilateri mantenendo la stessa "potenza" che però rimane $3$.
Però non vedo come questo possa modificare la vincita massima perché se posso mettere sul tavolo l'importo completo (come nel caso precedente dei dieci centesimi) e la potenza è la stessa, la vincita massima rimane la stessa … :-k


Cordialmente, Alex
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Re: Per un pugno di centesimi

Messaggioda orsoulx » 17/10/2018, 10:37

axpgn ha scritto:Mi sa che ho capito poco …

Mi sa che hai capito tutto! Ma non riesci a 'sistemare' le monetine nella maniera opportuna. :D
Il bello, a mio avviso, di questo problema è che, per risolverlo, bastano competenze matematiche elementari e non serve possedere una buona visualizzazione spaziale: arriva l'intuizione corretta e tutto diventa banale.
Dopo averlo vestito ammodo, ho postato il suo nucleo in "Scervelliamoci un po'", vediamo se qualcuno ci prova.
Ciao
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Re: Per un pugno di centesimi

Messaggioda axpgn » 17/10/2018, 17:18

orsoulx ha scritto:Mi sa che hai capito tutto!

Hai troppa fiducia … :-D

orsoulx ha scritto:... e non serve possedere una buona visualizzazione spaziale ...

Per te che ce l'hai … :lol:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Non mi schiodo da una disposizione simile ...


Immagine

Volendo è ripetibile ad libitum (a destra e sinistra ma anche a NE, NO, SE e SO … :D )


Cordialmente, Alex
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Re: Per un pugno di centesimi

Messaggioda melba » 18/10/2018, 13:31

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
con 18 monete da 5 centesimi, disposte così:
Immagine
dovrebbe andare.


saluti
Melba
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Re: Per un pugno di centesimi

Messaggioda axpgn » 18/10/2018, 20:04

@melba

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se ho ben interpretato il testo, la potenza della tua disposizione è pari a tre come la mia, quindi novanta centesimi per tre è minore di tre euro … IMHO


Cordialmente, Alex
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Re: Per un pugno di centesimi

Messaggioda melba » 19/10/2018, 11:25

@axpng
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Hai ragione, non avevo considerato bene la potenza di tutte le monete.

Melba
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Re: Per un pugno di centesimi

Messaggioda melba » 20/10/2018, 13:54

Così?
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine

supponendo r=1 si ha d=5,76
le monete sono 18 da 5 centesimi, disposte 9 sui vertici di un ennagono, le altre 9 sui vertici di un ennagono interno ottenuti costruendo un triangolo equilatero su ogni lato dell'ennagono esterno.
Considerando la moneta (circonferenza) k si vede che ha potenza 4, perché equidistante dalle circonferenze h, r, c, s, la cosa vale ovviamente per tutte le monete esterne. Prendiamo ora in considerazione una delle monete interne, ad es. la c; anch'essa ha potenza 4 perché equidistante per costruzione dalle due monete esterne k e s e dalle due interne k e h, dato che i segmenti JO e JN sono congruenti a AJ (ovvero al lato dell'ennagono esterno ). Infatti i triangoli FOJ e FNJ sono isosceli e uguali fra loro, Uguali perché hanno in comune la base JF, il lato OF congruente al lato FN per costruzione e l'angolo OFJ congruente a NFJ, dato che FJ giace sulla bisettirce dell'angolo OFN (infatti in un ennagono la bisettrice di un angolo è l'. asse del lato opposto). I triangoli FOJ e FNJ sono, inoltre isosceli perché l'angolo OFN e l'angolo OJN sono uguali, perché corrispondenti in figure simili (i due ennagoni) e saranno quindi uguali gli angoli alla base dei due triangoli.
Di questi triangoli conosco l'angolo alla base che è 10°, e la misura dell'altezza che è 1, quindi posso ricavare il lato obliquo che coincide con d, ossia d=1/sen10= 5,758770483.
La massima vincita possibile è 18x0,5x4=3,60€
.

Saluti
Melba
Ultima modifica di melba il 20/10/2018, 17:49, modificato 2 volte in totale.
melba
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