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Triangolo equilatero

30/11/2018, 01:02

Dai vertici di un triangolo equilatero, tracciamo tre segmenti lunghi, rispettivamente, $3$, $4$ e $5$ unità, i quali si incontrano in un punto interno $P$.
Quant'è lungo il lato del triangolo?

Cordialmente, Alex

Re: Triangolo equilatero

30/11/2018, 11:47

Non riesco a trovare un modo simpatico per determinare la lunghezza del lato, dovrebbe essere
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$l=6.766432567522307...$
ma il dubbio che mi solletica è: perché in "Giochi matematici" e non in "Scervelliamoci un po'"?
Ciao

Re: Triangolo equilatero

30/11/2018, 13:41

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sto provando ad applicare il Teorema di Erone, ma il calcolo inizia a farsi lungo... :-D :-D :-D

Re: Triangolo equilatero

30/11/2018, 14:27

@orsoulx
Hai una calcolatrice migliore della mia che ha "solo" tredici cifre decimali … :-D (per la precisione ho usato quella "di serie" sul tablet low-low-cost :wink: )

orsoulx ha scritto:... perché in "Giochi matematici" e non in "Scervelliamoci un po'"? ...

Lo sapessi! :lol:
E c'ho pure pensato … in effetti trovavo che fosse da postare nell'altra sezione però … sarà stato che ne avevo appena postato uno di là, sarà stata l'ora e l'ho messo di qua … fosse l'unica cosa che sbaglio :-D
Tra l'altro, la soluzione che conosco penso sia di quelle che piacciono a te e a giammaria ... :D

Cordialmente, Alex

Re: Triangolo equilatero

01/12/2018, 18:31

axpgn ha scritto:Hai una calcolatrice migliore della mia

Uso abitualmente GeoGebra. In un cassetto ho quella scolastica, acquistata ammaccata nel secondo millennio, batteria mai sostituita, con cui spesso gioco a chi dei due sopravvive.
Il problema è che dispongo della soluzione esatta (bastano 5 cifre) ottenuta usando la geometria analitica :cry: , ho trovato una semplice costruzione con riga e compasso, ma non riesco a vederne una dimostrazione sintetica soddisfacente :(
Ciao.

Re: Triangolo equilatero

01/12/2018, 23:03

Ho provato a chiederlo al tuo amico Wolfram, che esagerando me ne dà $53$ di decimali (più cinque di riserva) :-D

Dato che faccio sempre confusione, chiariscimi una cosa … una soluzione con la geometria analitica significa usare equazioni di rette e curve, sistemi e vincoli aggiuntivi, ok mentre con sintetica si intende una costruzione geometrica che permette di calcolare il risultato in modo "banale" … o no?
Perché se così fosse allora la tua costruzione con riga e compasso dovrebbe essere una soluzione sintetica, isn't it? :D

Cordialmente, Alex

Re: Triangolo equilatero

02/12/2018, 23:11

:smt023 Bella soluzione analitica

Per curiosità però vorrei chiederti …

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Le relazioni che ottieni sono frutto solo del sistema delle tre circonferenze o anche di qualche teorema ?


Cordialmente, Alex

Re: Triangolo equilatero

03/12/2018, 00:04

axpgn ha scritto:...dovrebbe essere una soluzione sintetica, isn't it? :D

Una soluzione sintetica che si appoggia su una dimostrazione ottenuta con la geometria analitica difetta almeno di eleganza.
Ti descrivo la storia.
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Con un procedimento numerico analogo a quello letterale di TeM (unica differenza aver posto l'origine nel punto medio del lato orizzontale) avevo trovato il valore $ l=sqrt(25+12sqrt(3)) $. Essendo $ 25+12sqrt(3)=(3+2sqrt(3))^2+2^2 $ potevo costruire $ l $, a partire dal triangolo $ 3, 4, 5 $, in due passaggi con il solo compasso, ma mi mancava la dimostrazione sintetica di questa proprietà. Adesso, invece, l'ho trovata.
Se $ a,b,c $ sono le lunghezze dei tre segmenti ed esiste il triangolo $ t $ di lati $ a, b, c $ (in caso contrario il problema non ha soluzione), costruito su uno qualsiasi dei suoi lati un triangolo equilatero esterno a $ t $, il segmento che congiunge i vertici non in comune misura $ l $.
La dimostrazione, banalissima, mi sfuggiva, perché mi intestardivo a voler utilizzare il fatto che $ 3, 4, 5 $ sono lati di un triangolo rettangolo. Fra l'altro gli angoli formati dai tre segmenti che uniscono il punto $ P $ con i vertici del triangolo equilatero sono quelli del triangolo iniziale aumentati di $ 60° $

TeM ha scritto:se esiste un triplice punto d'intersezione interno al triangolo equilatero di vertici i centri delle tre circonferenze:
Potrebbe anche essere esterno, non cambia nulla.
Ciao

Re: Triangolo equilatero

03/12/2018, 18:18

@TeM
Allora ho fato bene a non farli :D

@orsoulx
Se ho capito bene, la soluzione che conosco sarebbe un "reverse" della tua …

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Immagine
Costruiamo il triangolo equilatero $APF$. Congiungiamo $B$ con $F$.
Tracciamo da $B$ la perpendicolare al prolungamento di $AP$ e chiamiamo l'intersezione $E$.
$P\hat\AC=60°-P\hatAB=B\hatAF$ per cui i triangoli $PAC$ e $FAB$ sono congruenti e quindi $BF=CP=5$.
Il triangolo $BPF$ è rettangolo in $P$ perciò $B\hatPE==180°-60°-90°=30°$.
Ne segue che $BE=2$ ed $EP=2sqrt(3)$.
In conclusione $l=AB=sqrt(2^2+(3+2sqrt(3))^2)=sqrt(25+12sqrt(3))$


Cordialmente, Alex

Re: Triangolo equilatero

04/12/2018, 01:01

@Alex,
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Immagine Alla lunga sì. La mia è decisamente 'costruttiva'; le prime tre immagini riportano la costruzione in base alla scelta del lato. Per la dimostrazione basta osservare che:
per la prima, la rotazione di centro D ed ampiezza +60° porta A in C e B in E;
per la seconda, la rotazione di centro F ed ampiezza +60° porta B in A e C in G;
per la terza, la rotazione di centro N ed ampiezza +60° porta C in B ed A in M.
L'ultima figura mostra come bastino quattro archi di circonferenza per costruire il lato del triangolo equilatero cercato partendo dai tre segmenti allineati.
Ciao
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