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Fissiamo un valore $s>0$ minore della metà della lunghezza del più piccolo segmento comune a due rettangoli.
Coloriamo di rosso tutti i rettangoli che hanno la base intera (il lato orizzontale) tranne due strisce, di spessore $s$, aderenti ai due lati orizzontali, che coloriamo di verde.
Viceversa, per i rettangoli che hanno l'altezza intera (il lato verticale); li coloriamo di verde tranne due strisce, di spessore $s$, aderenti ai due lati verticali, che coloriamo di rosso.
In questa situazione o esiste un percorso rosso da sinistra a destra o esiste un percorso verde dal basso verso l'alto.
Supponiamo il primo; allora ogni volta che il percorso attraversa una linea verticale ci troveremo su una coordinata intera.
Coloriamo di rosso tutti i rettangoli che hanno la base intera (il lato orizzontale) tranne due strisce, di spessore $s$, aderenti ai due lati orizzontali, che coloriamo di verde.
Viceversa, per i rettangoli che hanno l'altezza intera (il lato verticale); li coloriamo di verde tranne due strisce, di spessore $s$, aderenti ai due lati verticali, che coloriamo di rosso.
In questa situazione o esiste un percorso rosso da sinistra a destra o esiste un percorso verde dal basso verso l'alto.
Supponiamo il primo; allora ogni volta che il percorso attraversa una linea verticale ci troveremo su una coordinata intera.
Cordialmente, Alex