Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda axpgn » 19/02/2019, 16:59

@gabriella127
Sì, certo.

@Settevoltesette
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Settevoltesette ha scritto:Si ma il cammino é lungo i lati dei rettangoli più piccoli quindi si può andare in linea retta solo verticalmente ed orizzontalmente.

Ed è quello che ho fatto in quell'esempio quindi rimane non vera quell'affermazione.

Settevoltesette ha scritto:Per il restante dico che se non ho cammini interi allora esiste tutto un tratto verticale almeno fatto da rettangoli con lato non intero ed uno orizzontale uguale, anche non contigui, nell'intersezione devo avere un rettangolo con almeno tutti i lati non interi

Purtroppo continuo a non capire … :(
Per esempio, l'intersezione di che cosa? :?
Oppure, il fatto che il cammino sia intero oppure no, cosa ti cambia? Ho dimostrato precedentemente che il cammino può essere intero ma i lati no … :|


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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda gabriella127 » 19/02/2019, 20:41

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ho avuto un'idea veramente facile (se non è una cretinata, ricontrollo).
E' basata sul fatto che deve essere vero qualunque sia il numero di rettangoli più piccoli che suddividono il rettangolo dato.
Quindi anche per solo due rettangoli. In questo caso mi sembra abbastanza facile far vedere che uno dei due lati del rettangolo grande deve essere intero (facendo un disegno dei vari casi).

Quindi se è vero per due rettangoli, deve essere vero per qualsiasi altra suddivisione, mica una diversa suddivisione può far cambiare la misura dei lati del rettangolo grande.
Però ho il dubbio che così si risponda a un altro problema.
.
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda axpgn » 19/02/2019, 21:12

@gabriella127
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Mica lo puoi misurare … :D


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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda gabriella127 » 19/02/2019, 22:01

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
non c'entra niente misurarlo, mica sono scema che cerco di misurarlo, :) voglio dire che una diversa suddivisione non è che può cambiare un lato da intero a non intero...
Però nella cosa che ho scritto c'è un aspetto capzioso.
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda axpgn » 19/02/2019, 22:25

@gabriella127
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Certamente un'altra suddivisione non cambia le misure dei lati del rettangolo grande ma è tutto da dimostrare che ne esista sempre un'altra (partendo da quella data) e soprattutto che ne esista sempre una che ti sia utile per dimostrare quanto richiesto
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda gabriella127 » 19/02/2019, 22:34

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Certo non si può sapere se è possibile una divisione in due rettangoli.
Cerco un'idea per una via più breve, la soluzione non può essere troppo farraginosa
"Per consolarti, o povera anima mia, ripeti:
il quadrato costrutto sovra l'ipotenusa
è la somma di quelli fatti su i due cateti".
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda axpgn » 26/03/2019, 01:29

Penso sia ora di concludere … :D

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Disegno il rettangolo "grande" con i lati paralleli agli assi cartesiani e con il vertice basso a sinistra coincidente con l'origine e costruisco una griglia di quadrati di lato $1/2$ che coloro alternativamente di bianco e nero come una scacchiera.
Ognuno dei rettangoli "piccoli", avendo almeno un lato intero, sarà colorato metà di bianco e metà di nero, e di conseguenza lo sarà anche quello grande dato che è la "somma" di quelli piccoli.
Ora, se l'altezza del rettangolo grande non fosse intera per bilanciare il bianco con il nero deve essere intera la lunghezza.

Il prof S.Wagon ha pubblicato un articolo dal titolo "Fourteen proofs" relativo al problema in questione dove potete trovare le altre (più complicate) tredici :-D

Ne conosco anche una quindicesima, più o meno "semplice" come questa :D


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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda Settevoltesette » 27/03/2019, 15:48

:oops: Era così semplice
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda axpgn » 27/03/2019, 15:59

Semplice forse sì, ma anche ovvio direi di no … :D
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Re: Rettangoli e Interi

Messaggioda gabriella127 » 28/03/2019, 00:33

Per nulla ovvio. La soluzione che ha presentato axpgn è semplice, ma solo dopo che qualcuno di geniale l'ha trovata.
Comunque io conoscevo l'articolo di Wagon con le quattordici soluzioni. Non ho detto niente per non rovinare il post.
Ho cercato di vedere se era possibile un'altra soluzione semplice.
In realtà il problema dei rettangoli è più un vero e proprio teorema che un gioco matematico.
Le altre tredici soluzioni sono di tipo matematico più complicato, un gioco dovrebbe avere una soluzione di tipo intuitivo, che richiede scarsi strumenti matematici, ma con una idea originale alle spalle. Ad esempio soluzioni con integrali, per quanto corrette, non sono nello spirito di un gioco matematico, e per la verità poco interessanti, manca un'idea.
Quella presentata da axpgn è l'unica degna di un gioco matematico (detto non in modo riduttivo, ma come complimento a chi l'ha trovata).
Aspettiamo la quindici!
Ciao!
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