Trovare l'errore.

L'obbiettivo è trovare l'errore in questo ragionamento:
Considerando l'equazione \( x^2+x+1=0 \)
Da un lato scriviamo \( x=-1-x^2\).
D'altra parte dividendo per \( x \) l'equazione iniziale troviamo \( x+1 + 1/x =0 \) e dunque \( x= -1 - 1/x \)
Comparando le due espressioni ottenute per \(x \) segue che \( x^2 = 1/x\), Pertanto deduciamo che \( x^3=1 \) e \( x=1\).
Dunque \(x=1 \) è soluzione dell'equazione iniziale.

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Da un'ipotesi falsa puoi dedurre tutto quello che vuoi

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Quale ipotesi falsa?

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Per qualsiasi valore di $x$, è sempre falso che l'espressione $x^2+x+1$ sia pari a zero.

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@axpgn: pensavo anch'io che l'inghippo fosse quello, ma mi è bastato un controesempio per smontare la congettura. Per non parlare poi dell'eventualità che $x in CC$.

Se provi a rifare il giochino con:$" (1) "x^2-x-1=0" "to" "x=x^2-1" e "x=1+1/x" "$ottieni l'equazione:$" "x^2-1=1+1/x" "to" "x^3-2x-1=0" "$, che oltre alle soluzioni della (1) ha anche una terza soluzione,$" "x=-1" "$, che non è soluzione della (1).

Quindi evidentemente il problema è un altro.

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@Palliit
Non sono la stessa cosa ... la sua è falsa in partenza e quindi ne può discendere qualsiasi cosa, la tua no, ha soluzioni quindi è vera.
La terza soluzione è soluzione solo dell'ultima equazione ma non delle due da cui discende quindi l'inghippo dovrebbe stare qui

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Detto in altro modo: i principi di equivalenza non affermano che date due equazioni equivalenti ad una terza (intendo la prima in questo caso) se poi messe a sistema tra loro , garantiscano le stesse soluzioni dell'equazione originale

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Per qualsiasi valore di $ x $, è sempre falso che l'espressione $ x^2+x+1 $ sia pari a zero.

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Non ho detto che l'espressione ha un valore per $ x $ che la rende pari a zero, quindi non c'è un ipotesi falsa. L'errore è un altro e si trova nel ragionamento (evidentemente falso in quanto si trova un valora reale che annulli l'espressione). Se un ragionamento non è fallacie avremmo dovuto concludere che non possiede radici reali. L'errore è quello che dici nel altro commento...

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Detto in altro modo: i principi di equivalenza non affermano che date due equazioni equivalenti ad una terza (intendo la prima in questo caso) se poi messe a sistema tra loro , garantiscano le stesse soluzioni dell'equazione originale

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La risposta giusta è quella che hai dato sui principi di equivalenza. Infatti
$ x^2+x+1=0$ (1)
$ x^2 + x+1=0 \Leftrightarrow x=-1-x^2 $ (2)
$ x^2 + x+1=0 \Leftrightarrow x=-1-1/x $ (3)
$x=-1-x^2 $ e $x=-1-1/x \Rightarrow -1-x^2 =-1-1/x$ (4)

In altre parole abbiamo implicazione in una direzione e non equivalenza. (1), (2), (3) sono equivalenti, (2) e (3) implicano (4). L'errore sta nel dire che una soluzione di (4) è soluzione di (2) e (3).
$x=1$ soddisfa (4) ma non soddisfa (1),(2),(3). Però ad esempio soddisfa
$-2x=-1-x^2 $ e $ -2x=-1-1/x $

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Non ho detto che l'espressione ha un valore per $ x $ che la rende pari a zero, quindi non c'è un ipotesi falsa.

Certo che c'è, tu hai fatto un'affermazione, questa $x^2+x+1=0$, che può essere vera o falsa e di fatto è sempre falsa ($x$ reale ovviamente) quindi il resto dell'implicazione può valere qualsiasi cosa. Diversa è l'equazione di Palliit per la quale il problema è quello detto.

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L'errore è nella domanda:
come può $x^2+x+1$ essere uguale a $0$ ?
$x^2+x=-1$ ?!
Come può un numero $x$, sommato al suo quadrato $x^2$, essere uguale a $-1$?