I ragni e la mosca

Una simpatica famigliola di ragni, la saggia mamma e otto pargoletti, era "appollaiata" su un muro in fondo a una stanza rettangolare (parallelepido rettangolo).
I tempi sono grami, la fame è tanta.
Ma ... ecco che un'enorme mosca si posa sul muro opposto: sia la mosca che i ragni si trovano sulla mezzeria verticale ma i ragni ottanta pollici sopra il centro mentre la mosca ottanta pollici sotto il centro.
"Mamma, guarda!" grida improvvisamente uno dei ragnetti.
"Bene, ragazzi miei" dice la mamma, "ci sono otto percorsi per arrivare alla nostra preda, ciascuno di voi ne prenderà uno e usando solo le vostre zampette, convergete su di essa: il primo che arriva, avrà il pezzo più grosso."
Al segnale della mamma, gli otto ragnetti partono, ciascuno in una differente direzione, ognuno alla velocità costante di $0.65$ miglia orarie.
Dopo $625/11$ di secondo, simultaneamente, tutti e otto raggiungono l'obiettivo ... che nel frattempo era morto di paura.
Quali sono le dimensioni della stanza?

Cordialmente, Alex

O c'è un trucco, o qualche dato va desunto con assunzioni arbitrarie.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

In particolare, suppongo vada dedotta l'informazione che la mamma decide lei i percorsi e (per strategia di caccia) assegna agli otto ragnetti otto percorsi di pari lunghezza (non la via più breve per arrivare alla mosca) per farli convergere sull'obiettivo più o meno contemporaneamente da otto direzioni uniformemente distribuite, ovvero che formano tra loro angoli uguali (di 45°).
La forma di tali traiettorie sullo sviluppo piano del parallelepipedo potrebbe essere qualunque (spezzata, tratto di ellissi, tratto di spirale, zig zag...) ma suppongo si debba supporre che mamma ragno scelga la più semplice, ovvero segmenti rettilinei intervallati di 45° e divergenti dalla posizione iniziale fino al primo spigolo, percorsi paralleli al terzo spigolo fino al secondo spigolo e infine percorsi retti convergenti sull'obiettivo (che vengono automaticamente intervallati di 45°).
Purtroppo tale con tale strategia mi pare che ci sia un fattore (la profondità della stanza) che rende indeterminato il sistema solutivo.
Dove sbaglio?
Ci sono traiettorie più corte che mamma ragno potrebbe prediligere rispetto alla spezzata, ma con che criterio razionale dovrebbe sceglierle?

No, no … la retta è sempre la strada più breve tra due punti

No, no … la retta è sempre la strada più breve tra due punti

Ne deduco che la soluzione cercata è una spezzata che abbia tratto rettilineo su ogni faccia.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Con tale assunzione, sempre ipotizzando una strategia di accerchiamento, il sistema si può risolvere: sulla parete della mosca i ragnetti convergeranno con traiettorie distanziate di 45° simmetriche rispetto alla verticale, sulle altre pareti con traiettorie con diversa inclinazione che minimizzi la distanza da percorrere.
Imponendo l'equivalenza delle distanze ho tre equazioni aventi come incognite gli spigoli.
Però prima di risolvere con la forza bruta (sistema di equazioni con termini noti contenti tangente e seno di 22,5°) voglio provare a cercare una soluzione più elegante.

@andomito

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non capisco perché ti ostini a cercare gli angoli, soprattutto di $45°$ … … se apri la mente, vedrai che trovi proprio otto segmenti uguali

Cordialmente, Alex

?? ??

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

A meno di sorprese (suppongo ad esempio che la mosca non cade a terra, quando è morta, che i ragnetti camminino sui muri, non su ragnatele sospese, che le pareti non abbiano finestre o porte consentendo percorsi esterni) i percorsi più brevi mi risultano 4, non otto, facilmente individuabili con una riga "aprendo" il parallelepipedo. Dette h, l e p altezza, larghezza e profondità e a la distanza di mosca o ragnetti dal centro della parete, avremo:
1 -su fino al soffitto, dritto fino alla parete in fondo, giù fino alla mosca (lunghezza tracciato = h+p)
2 -giù fino al pavimento, dritto fino alla parete in fondo, su fino alla mosca (lunghezza tracciato =h+p)
3 (e 4) - girando verso destra (o sinistra) sulle pareti con inclinazione costante sull'orizzontale (lunghezza tracciato=
$sqrt(4 a^2 + (l+p)^2)$ )
facendo conversioni e calcoli, risulta con ragionevole approssimazione che a= 2m, lunghezza tracciato = 16,5 m, e quindi
h= 16,5 m - p
l = 16 m - p
Ma come ho detto nel primo intervento manca un'equazione (o un dato) per risolvere il problema, che tra l'altro non rispetta tutte le condizioni (8 percorsi distinti).

Evidentemente mi sfugge qualcosa... (mumble...)

@andomito

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Eh, hai "aperto" la mente e migliori … … e siccome sono in vena di "hint" (ne ho già dati troppi ) aggiungo che i percorsi sono effettivamente otto ma si riducono a quattro per simmetria e di fatto a tre: per il soffitto (simmetrico al pavimento), per la parete di dx (simmetrico a quella di sx), per soffitto e parete dx (simmetrico ad altri tre, soff+sx, pav+dx, pav+sx).
Adesso però le TRE equazioni le trovi tu, se no finisce che lo risolvo io

Cordialmente, Alex

EUREKA

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se la profondità è prevalente sulle altre dimensioni e i punti sono prossimi agli spigoli, ci sono due altri percorsi che tagliano gli angoli.
Fatti i conti mi viene più o meno una profondità di 11,15 m, una altezza di 5,35 m e una larghezza di 4,45 m.
Se volete le equazioni le posto domani, ma forse sarebbe più utile un disegnino

@andomito

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Premesso che i numeri sono sbagliati e che non ho capito la prima frase (quali punti? perché dovrebbero essere vicino agli spigoli? mah ... ), i risultati li preferirei in pollici ( anche perché così sono interi e i conti sono più semplici) e soprattutto mi interessano le equazioni che risolvono il problema

Cordialmente, Alex

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ricordo di aver visto un gioco simile riguardo le linee geodetiche in cui c'erano appunto un ragno e una mosca all'interno di un parallelepipedo le cui misure erano note e veniva richiesto di calcolare la distanza minima che doveva percorrere il ragno per arrivare alla mosca.