Ennagono

[Drazen77]

In questo ennagono regolare di lato unitario $\bar{AB}$ è una diagonale minore, $\bar{AC}$ è una diagonale maggiore.

Quanto misura la differenza tra queste due diagonali?

[axpgn]

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$1$

[axpgn]

Ho fatto un giro un po' lungo …

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Stacco sulla diagonale maggiore $FA$ un segmento pari alla diagonale minore $FJ=FH$
Il triangolo $HFJ$ è isoscele e la diagonale $FI$ è bisettrice dell'angolo in $F$.
Quindi i due triangoli $FHM$ e $FJM$ sono congruenti e rettangoli e di conseguenza lo sono anche i triangoli $IMH$ e $IMJ$.
Perciò $IJ$ ha lunghezza unitaria e siccome l'angolo $AIJ$ è di $60°$ gradi, il triangolo $AIJ$ è equilatero e si conclude che il segmento $AJ=FA-FJ$ ha lunghezza unitaria.

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

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Perché dici di aver fatto un giro un po' lungo? Hai fatto il giro giusto.

[axpgn]

Beh, ho sintetizzato; se avessi dettagliato tutto sarebbe venuto "lunghetto"

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

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L'idea chiave era appunto trovare il punto $J$ tale che... ecc, ecc, ecc... il che ci porta a dire che quel triangolo sia equilatero.

[MrDark82]

Ho fatto un giro un po' lungo …

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Stacco sulla diagonale maggiore $FA$ un segmento pari alla diagonale minore $FJ=FH$
Il triangolo $HFJ$ è isoscele e la diagonale $FI$ è bisettrice dell'angolo in $F$.
Quindi i due triangoli $FHM$ e $FJM$ sono congruenti e rettangoli e di conseguenza lo sono anche i triangoli $IMH$ e $IMJ$.
Perciò $IJ$ ha lunghezza unitaria e siccome l'angolo $AIJ$ è di $60°$ gradi, il triangolo $AIJ$ è equilatero e si conclude che il segmento $AJ=FA-FJ$ ha lunghezza unitaria.

Cordialmente, Alex

Scusate l'ignoranza, ma credo che le seguenti considerazioni vadano dimostrate...

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la diagonale $FI$ è bisettrice dell'angolo in $F$

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siccome l'angolo $AIJ$ è di $60°$ gradisiccome l'angolo $AIJ$ è di $60°$ gradi

[axpgn]

Certo, come ho detto

Beh, ho sintetizzato; se avessi dettagliato tutto sarebbe venuto "lunghetto"

andrebbero dimostrate un po' di cose ...

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Scusate l'ignoranza, ma credo che le seguenti considerazioni vadano dimostrate...
1) la diagonale $ FI $ è bisettrice dell'angolo in $ F $
2) siccome l'angolo $ AIJ $ è di $ 60° $ gradi siccome l'angolo $ AIJ $ è di $ 60° $ gradi

Cominciamo dalla 1) … essendo un poligono regolare è inscrivibile in un cerchio perciò i suoi vertici si trovano sulla circonferenza, ne consegue che l'angolo formato da un vertice e due diagonali qualsiasi è un angolo alla circonferenza e pari alla metà del relativo angolo al centro.
In un ennagono regolare gli angoli al centro che insistono su un lato sono tutti uguali e valgono $360/9=40°$ e il relativo angolo alla circonferenza (come lo sono $H\hatFI$ e $J\hatFI$) vale $20°$, quindi $H\hatFI=J\hatFI$ e perciò $FI$ è bisettrice di $H\hatFJ$.

Per la 2) … partiamo da $H\hatFJ=40°$ da cui $J\hatHF=H\hatJF=140/2=70°$; poi $M$ punto medio di $HI$ perché bisettrice è mediana triangolo isoscele, inoltre $H\hatMI$ è retto; ne consegue che i triangoli $IMH$ e $IMJ$ sono congruenti (due lati e angolo compreso). Quindi $IJ=IH=IA=1$.
Proseguiamo … $140°=G\hatHI=G\hatHF+F\hatHJ+J\hatHI=20+70+J\hatHI$ quindi $J\hatHI=50°$
Ma $J\hatHI=H\hatJI=50°$ e di conseguenza $180°=F\hatJA=F\hatJH+H\hatJI+I\hatJA=70+50+I\hatJA$ da cui $I\hatJA=60°$.
Si conclude che un triangolo isoscele con angoli alla base di $60°$ è equilatero e quindi $JA=1$.

L'ho detto che era un po' lunghetto …

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

[quote="axpgn"] [..] Il triangolo $HFJ$ è isoscele e la diagonale $FI$ è bisettrice dell'angolo in $F$.[...] Il triangolo $HFJ$ è isoscele "per costruzione ... ma perché dici gratuitamente che " la diagonale $FI$ è bisettrice dell'angolo in $F$" ?
[Si verifica facilmente che è vero! Ma bisogna pur farlo, perché NON è IMMEDIATO!
Ciao Alex
Ciao a tutti
________




P.S.
Questa proprietà dell'ennagono regolare – a me ignota fino a ieri mattina – era il contenuto del quiz [che ho letto ieri mattina in "Rudi Mathematici" (sezione del di Coelestis, il sito degli astronomi dilettanti, "postato" là da da aspesi [che qualche volta ha scritto anche qua (con l'username "nino")].
Io ne ho dato una dimostrazione per via analiticaq... ricavando prima trigonometricamente l'espressione della differenza delle diagonali "lunga" e "coeta" (dopo aver assunto unitario il lato) . Insomma: occorreva mostrare che quell'espressione valeva 1 (anche senza conoscere seno e coaseno di particolari angoli (di 10 o 20 gradi).
Beh: visto che ci siamo ... e che il moderatore non ha ancora cancellato il mio "post" da "Scervelliamoci un po'", torno là e modifico il quiz.
A ri-ciao!

[axpgn]

@Erasmus
Se avessi letto tutta la discussione, avresti già avuto la risposta alla tua domanda
Sai meglio di me che talvolta non si ha il tempo per un post lungo e dettagliato quindi prima ho dato la risposta e poi una dimostrazione "sintetica" come detto anche qui

Beh, ho sintetizzato; se avessi dettagliato tutto sarebbe venuto "lunghetto"

Infine ho precisato un paio di punti tra cui proprio quello relativo alla bisettrice

Cordialmente, Alex