Gino e Mario

[Bokonon]

Tempo fa, su un forum di una galassia distante (cit.), un fisico propose un problema semplice e noto....che vi ripropongo

Gino va a trovare Mario, il quale gli propone una scommessa.
Mario prende 100 bigliettini e li numera fra 1 e 100 e infine li mette, debitamente piegati, dentro una cesta.
Poi ne estrae due e li mette aperti sul tavolo e dice a Gino:"Se peschi un numero compreso nell'intervallo fra i miei due numeri, vinci la posta". Qual è la probabilità che Gino vinca? E se ci fossero N biglietti dentro la cesta, cosa cambierebbe per $N->oo$?

...to be continued

[axpgn]

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$1/3$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

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Per $N->infty$ penso lo stesso

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

@axpgn La risposta è ovviamente esatta ma puoi dimostrarla?

[Bokonon]

Metto qua la soluzione più semplice e immediata

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Il problema è formalmente equivalente ad avere tre biglietti chiusi contenenti 3 numeri naturali diversi e sceglierne uno. Quindi si ha probabilità 1/3 di azzeccare quello che sta nel mezzo.
Volendo poi si possono aprire prima i due non scelti e alla fine quello scelto...giusto per enfatizzare che vedere i due numeri non ha alcun effetto sulla probabilità finale media su prove ripetute.
Infine, da questo punto di vista diventa altresì evidente che la probabilità non dipende da quanti biglietti ci sono nella cesta.

[tommik]

di modi per risolvere il problema ce ne sono diversi....e ci sono anche diversi esempi molto simili sul forum già risolti. Il metodo principale consiste nell'utilizzare la formula di disintegrazione (per intenderci quella che sta al denominatore del teorema di Bayes) per cui, nel discreto si ha

$mathbb{P}[A]=sum_(x)mathbb{P}[A|X=x]f_X(x)$

Per $N rarr oo$ si può pensare di trasformare il problema nel continuo (mi sembra la strada più semplice) ipotizzando una distribuzione uniforme su $[0;1]$ e generalizzando come noto la formula precedente.

Propongo anche una soluzione alternativa, giusto perché mi pare di non averla mai proposta sul forum.

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Sempre passando nel continuo, la soluzione è ovviamente pari alla seguente media: $mathbb{E}[|X-Y|]$ dove $X,Y,$ sono variabili iid $U[0;1]$ e quindi con pochi e semplici ragionamenti sul quadrato $[0;1]xx[0;1]$ si ottiene

$mathbb{E}[|X-Y|]=int_(0)^(1)mathbb{P}[Z>z]dz=int_(0)^(1)(1-z)^2dz=1/3$

[axpgn]

@axpgn La risposta è ovviamente esatta ma puoi dimostrarla?

Certo che no!

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A spanne e dopo un paio di conticini mi sono detto che, mediamente più o meno ( ) , lo spazio è diviso in tre parti "uguali" e quindi Gino avrà una probabilità su tre di "beccare" l'intervallo giusto. E più numeri ci sono tra cui pescare, più ci avviciniamo a quel valore ... o no?

Così, nell'altro tuo prosieguo, penso (sempre a spanne) che la probabilità di Gino salgano al $60%$ (cioè tre su cinque e sempre più o meno ) ed anche che se Mario pesca sempre più bigliettini, le chance di Gino aumentano fino a diventare certezza ... … (d'altra parte se Mario estraesse 99 bigliettini, Gino vincerebbe sicuramente)

Cordialmente, Alex

P.S.:

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En passant, il fatto che sia Gino che propone il "nuovo" metodo mi fa pensare che questo sia più favorevole a lui che a Mario

[Bokonon]

@Alex

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A spanne e dopo un paio di conticini mi sono detto che, mediamente più o meno ( ) , lo spazio è diviso in tre parti "uguali" e quindi Gino avrà una probabilità su tre di "beccare" l'intervallo giusto. E più numeri ci sono tra cui pescare, più ci avviciniamo a quel valore ... o no?

Così, nell'altro tuo prosieguo, penso (sempre a spanne) che la probabilità di Gino salgano al $60%$ (cioè tre su cinque e sempre più o meno ) ed anche che se Mario pesca sempre più bigliettini, le chance di Gino aumentano fino a diventare certezza ... … (d'altra parte se Mario estraesse 99 bigliettini, Gino vincerebbe sicuramente)

Tutte le tue intuizioni e le risposte sono corrette ma è strano che tu non abbia già trovato la formula generale per tutte le casistiche...e non dipende da N.

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En passant, il fatto che sia Gino che propone il "nuovo" metodo mi fa pensare che questo sia più favorevole a lui che a Mario

Dovevo mantenere il filo narrativo
9 anni fa su un forum un amico fisico propose il primo facile problema. Dopo che diede la soluzione lo incalzai con la seconda variante e lui rispose con una terza, al che gli proposi di generalizzare il tutto.
Ma dovrai attendere "Gino e Mario: the final bet" per la conclusione della storia
Entrambi risolvemmo il problema ma lui scovò un'idea così elegante che provai piacere...e dolore allo stesso tempo perchè avrei dovuto vederla io (invece di fare il ragioniere) dato che una mente statistica avrebbe dovuto ragionare come lui.
Quindi si è partiti da un problema noto e semplice ma i successivi sono decisamente originali...dubito che si trovino in giro.

[axpgn]

@Bokonon

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… ma è strano che tu non abbia già trovato la formula generale …

Oh, per niente … mi sopravvaluti, io mi "arrabatto"