Gino e Mario: la vendetta

[Bokonon]

Questa è la seconda parte della saga "Gino e Mario". Non è necessario aver letto il primo thread...ma perchè perdersi la storia?

Riassunto puntata precedente:

Gino va a trovare Mario, il quale gli propone una scommessa.
Mario prende 100 bigliettini e li numera fra 1 e 100 e infine li mette, debitamente piegati, dentro una cesta.
Poi ne estrae due e li mette aperti sul tavolo e dice a Gino:"Se peschi un numero compreso nell'intervallo fra i miei due numeri, vinci la posta".

Gino ci pensa su e poi dice:"Non mi pare equo. Ti faccio una controproposta: tu peschi 4 bigliettini e li disponi aperti e in ordine crescente sul tavolo. Poi io pesco il mio e se il mio numero è compreso nell'intervallo fra il più piccolo e il più grande dei tuoi 4 numeri, allora vinco la posta"

Qual è la probabilità di vittoria di Gino?
E se ci fossero N biglietti cambierebbe qualcosa?
E infine, come varia la probabilità di vittoria di Gino se Mario pescasse X biglietti (senza reinserirli e con $2<X<N-1$) da N biglietti?

[Vincent46]

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I biglietti estratti, in totale, dai due, sono $X+1$. Ora, è chiaro che, dato un insieme ordinato di $X+1$ biglietti, ogni suo riordinamento ha la stessa probabilità di essere estratto (nell'ordine designato). Ad esempio, la probabilità che Mario estragga, nell'ordine, i biglietti coi numeri $5, 16, 9, 51$, e che Gino peschi poi il $42$, è la stessa probabilità che Mario estragga, nell'ordine, i numeri $51, 42, 9, 5$ e che Gino estragga poi il $16$.

Dunque il gioco si riduce a un problema di combinatoria: dati $X+1$ biglietti qualsiasi, qual è la probabilità che quello estratto da Gino non sia il minore o il maggiore? Le permutazioni totali sono $(X+1)!$, e i casi perdenti sono quelli in cui il biglietto di Gino è agli estremi, per un totale di $2(X!)$. Quindi le probabilità di vittoria di Gino sono $\frac{(X-1)(X!)}{(X+1)!} = \frac{X-1}{X+1}$.
Ovviamente questo ragionamento non dipende dal particolare valore dei biglietti estratti, e quindi il risultato è indipendente da $N$.

[Bokonon]

Bravissimo Vincent46
Mi hai rispamiato di scrivere la risposta perchè è esattamente così che l'avrei esposta!

P.S. ...resta in giro per il capitolo finale della trilogia

[Bokonon]

Beh, ho mentito. Per quanto mi piaccia molto la soluzione di Vincent46, vinco la pigrizia e propongo un soluzione ancora più semplice...ma che segue la medesima idea..e anche l'idea della soluzione al quesito precedente.

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Anche stavolta prendiamo $X+1$ biglietti e li mettiamo sul tavolo chiusi, quindi non dipendono da N.
Ci sono solo due biglietti (gli estremi, ovvero quello col numero più grande e quello col numero più piccolo) che fanno perdere Gino. Quindi ha probabilità $2/(X+1)$ di perdere. Ovvero $1-2/(X+1)=(X-1)/(X+1)$ di vincere.
Per X=2 si torna ad 1/3.
Per X=4 Gino ha il 60% di prob. di vincere. Furbo lui...ma sapremo chi è il più furbo dei due solo nell'ultimo capitolo della saga. Stay tuned!