Un raggio di luce rimbalzante

[Vincent46]

Il laboratorio del professor Alberto Unapietra consiste in una stanza rettangolare di dimensioni $78 \times 49$, con una delle pareti lunghe orientata a nord. Per il suo ultimo esperimento, il professore si piazza esattamente nel vertice a sud-ovest, e spara un raggio di luce a 45 gradi rispetto alle pareti a lui vicine (ovvero seguendo la bisettrice dell'angolo). Le pareti del laboratorio sono perfettamente riflettenti.
In ognuno degli altri tre vertici della stanza è posto un rilevatore di luce. Quale dei tre suonerà per primo?

Io e una mia amica abbiamo trovato tre soluzioni diverse. Chi offre di più?

[axpgn]

Siccome adesso non ho voglia di ragionare (ragionare? ) intanto dai un'occhiata a questo (se vuoi ), così, per sfizio …

Cordialmente, Alex

[Vincent46]

Direi che la soluzione si può applicare anche a quel caso!

[axpgn]

Cioè intendi che quella si può applicare a questo (a me pare di sì) ? Oppure il contrario ?

[Drazen77]

Dopo 125 rimbalzi...

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[Vincent46]

Dopo 125 rimbalzi...

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Beh niente da dire, la soluzione è giusta. Però c'è un modo per arrivarci senza fare il disegno!
@axpgn: tutte e due, direi. Alla fine si tratta di problemi molto simili...

[axpgn]

@Vincent46
Ma io non lo so qual è la tua

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Come detto di là, dato che il moltiplicatore di $78$ è dispari finirà sull'altro lato (cioè partendo da sx-ovest finirà a dx-est) e siccome il moltiplicatore di $49$ invece è pari finirà sullo stesso lato di partenza (cioè basso-sud).
IMHO

Cordialmente, Alex

[Vincent46]

@Vincent46
Ma io non lo so qual è la tua

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Come detto di là, dato che il moltiplicatore di $78$ è dispari finirà sull'altro lato (cioè partendo da sx-ovest finirà a dx-est) e siccome il moltiplicatore di $49$ invece è pari finirà sullo stesso lato di partenza (cioè basso-sud).
IMHO

Cordialmente, Alex

Ok, penso di aver capito (intuitivamente ) cosa intendi! Ci sta, complimenti

Appendice: e se le pareti dimensioni della stanza fossero $r \times s$, con $r, s$ reali positivi, come si caratterizzano le coppie $r, s$ tali che il raggio arrivi sicuramente a finire addosso a uno dei tre rilevatori?

Aggiungo una soluzione ancora più veloce, sebbene meno generale della tua:

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Se mettiamo la stanza in un piano cartesiano con l'origine nel vertice a sud-ovest e gli assi orientati coi lati della stanza, si ha che il raggio di luce tocca solo i punti a coordinate intere con entrambe le coordinate della stessa parità. D'altronde è facile dimostrare che il raggio non entra in un loop e non esce da dove è partito, perciò l'unica possibilità è che esca nel punto di coordinate $(78, 0)$!

[axpgn]

Ok, penso di aver capito (intuitivamente ) cosa intendi!

Lo so, sono stato molto grossolano ma non avevo voglia di riscrivere quanto detto nell'altro thread

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Comunque, di là dicevo anche che se una misura è razionale e l'altra irrazionale il raggio continua a girare all'infinito

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

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Non ho idea se valga o meno come soluzione ma ha senso per me
L'idea è di non seguire i rimbalzi dentro la stanza ma raddrizzarli tutti in un'unica direzione.



Quindi il raggio raggiungerà un rilevatore/angolo quando un certo numero di rettangoli formerà un quadrato.
Dato che 49 e 78 sono irriducibili, questo avverà con 49x78 rettangoli.
Il raggio, come in figura, attraverserà/rimbalzerà quindi 78 volte sulle pareti nord e sud e 48 volte contro le pareti est ed ovest, per poi finire nell'angolo (quindi non rimbalzerà più) dopo 78+48=126 rimbalzi.
Dato che il primo rimbalzo è a nord, dopo 78 rimbalzi colpirà la parete sud e dopo 48 rimbalzi colpirà la parete ovest, quindi il raggio arriva in direzione sud-ovest rimbalza a sud e andrà verso nord-ovest e infine colpirà il rilevatore.