Tennis

[axpgn]

Al primo turno di un torneo di tennis partecipano $10$ giocatori: $2$ femmine e $8$ maschi.
Gli accoppiamenti dei cinque incontri vengono formati estraendo casualmente da un'urna uno dopo l'altro i nomi dei partecipanti (senza reimmissione): il primo estratto contro il secondo estratto, il terzo contro il quarto e così via.
Qual è la probabilità che nessuna delle cinque partite metta di fronte le due donne?
Questa probabilità è minore, maggiore o uguale a quella che si avrebbe nel caso di $100$ giocatori di cui $20$ femmine (ovvero la probabilità che su $50$ incontri nessuno sia composto da sole femmine)?
Volendo generalizzare il caso a $2n$ giocatori di cui $k$ femmine ($2<=k<=n$), qual è la probabilità $p(k,n)$ che su $n$ partite, nessuna veda scontrarsi due donne?

Cordialmente, Alex

[andomito]

direi 1- 35,746 % =64,254 %

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ognuna delle cinque coppie, ove non siano già state estratte donne, ha probabilità crescenti di essere monocolore rosa, di cui la probabilità è 1/5 * (1/9+1/7+1/5+1/3+1)

nel caso di 100 tennisti la cosa si complica… ma certamente è più probabile avere almeno una coppia rosa.

Vado a fare i conti e continuo

[axpgn]

E dici male

Non ho capito perché hai messo sotto spoiler solo una parte della risposta …

Cordialmente, Alex

[andomito]

ci riprovo facendo tutta la casistica

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che la prima estrazione dia donna ha una probabilità 2/10
--- in tal caso la probabilità che anche la seconda estrazione dia donna è 1/9 * 2/10 (e c'è una coppia di donne)
----- la probabilità che invece dia uomo è 8/9 * 2/10 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
---in caso contrario (con probabilità 8/10) restano 2 donne e sei uomini
a questo punto che la terza estrazione dia donna ha una probabilità 2/8 * 8/10
--- in tal caso la probabilità che anche la quarta estrazione dia donna è 1/7 * 2/8 * 8/10 (e c'è una coppia di donne)
----- la probabilità che invece dia uomo è 6/7 * 2/8 * 8/10 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
--- in caso contrario (con probabilità 6/8 *8/10) restano 2 donne e quattro uomini
a questo punto che la quinta estrazione dia donna ha una probabilità 2/6 - 6/8 * 8/10
--- in tal caso la probabilità che anche la sesta estrazione dia donna è di 1/5 * 2/6 *6/8 * 8/10 (e c'è una coppia di donne)
---- la probabilità che invece dia uomo è 4/5 * 2/6 * 6/8 * 8/10 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
--- in caso contrario (con probabilità 4/6*6/8*8/10) restano due donne e due uomini
a questo punto che la settima estrazione dia donna ha probabilità 2/4 * 4/6 * 6/8 * 8/10
--- in tal caso la probabilità che anche la ottava dia donna è 1/3 * 2/4 * 4/6 * 6/8 * 8/10 (e c'è una coppia di donne)
----- la probabilità che invece dia uomo è 2/3 * 2/4 * 4/6 * 6/8 * 8/10 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
--- in caso contrario (con probabilità 2/4 * 4/6 * 6/8 * 8/10) restano due donne, che non possono che fare coppia.

Ricapitolando, che la prima coppia estratta sia di donne ha probabilità 1/9 * 2/10 = 1/5 * 1/9
che la seconda coppia estratta sia di donne ha probabilità 1/7 * 2/8 * 8/10 = 1/5 * 1/7
che la terza coppia estratta sia di donne ha probabilità 1/5 * 2/6 * 6/8 * 8/10 = 1/5 * 1/5
che la quarta coppia estratta sia di donne ha probabilità 1/3 * 2/4 * 4/6 * 6/8 * 8/10 = 1/5 * 1/3
che la quinta coppia estratta sia di donne ha probabilità 2/4 * 4/6 * 6/8 * 8/10 = 1/5 * 1

sommando, la probabilità che una delle cinque coppie sia di donne è 1/5 * (1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3 + 1) = 0.35746
e conseguentemente quella che ci sia sempre almeno un uomo nelle coppie è 0,64254

Dove sbaglio?

[axpgn]

Mi hai fatto fare la fatica di pensare … al tuo errore

Comunque penso sia già qua …

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---in caso contrario (con probabilità 8/10) restano 2 donne e sei uomini

La probabilità che il primo estratto sia maschio è $8/10$ ma la probabilità che anche il secondo sia maschio è $7/9$ e quindi la probabilità che la prima sia una coppia di uomini è $8/10*7/9$ …
Anche non volendo utilizzare la soluzione generale, io farei un'altra strada; così mi pare complicato e facile perdersi …

Cordialmente, Alex

[andomito]

Penso di aver capito l'errore

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che la prima estratta sia una donna ha una probabilità 2/10
--- in tal caso la probabilità che anche la seconda estrazione dia donna è 1/9 * 2/10 (e c'è una coppia di donne)
----- la probabilità che invece dia uomo è 8/9 * 2/10 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
---in caso contrario (con probabilità 8/10) restano 2 donne e sette uomini per la seconda estrazione
------- che tale seconda estrazione dia donna ha probabilità 2/9 * 8/10 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
-------- che dia uomo ha probabilità 7/9 * 8/10 e da luogo alla successiva casistica
a questo punto che la terza estrazione dia donna ha una probabilità 2/8 * 8/10 * 7/9
--- in tal caso la probabilità che anche la quarta estrazione dia donna è 1/7 * 2/8 * 8/10 * 7/9 (e c'è una coppia di donne)
----- la probabilità che invece dia uomo è 6/7 * 2/8 * 8/10 * 7/9 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
--- in caso contrario (con probabilità 6/8 *8/10 * 7/9) restano 2 donne e cinque uomini per la quarta estrazione
----------- che tale quarta estrazione dia donna ha probabilità 2/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
----------- che sia uomo ha probabilità 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 e da luogo alla successiva casistica
a questo punto che la quinta estrazione dia donna ha una probabilità 2/6 * 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9
--- in tal caso la probabilità che anche la sesta estrazione dia donna è di 1/5 * 2/6 * 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (coppia donne)
---- la probabilità che invece dia uomo è 4/5 * 2/6 * 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
--- in caso contrario (con probabilità 4/6*5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9) restano due donne e tre uomini per la sesta estrazione
------------che tale sesta estrazione dia donna ha probabilità 2/5 * 4/6 * 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (no coppia donne)
------------che dia uomo ha probabilità 3/5 * 4/6 * 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 e si prosegue
a questo punto che la settima estrazione dia donna ha probabilità 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9
--- in tal caso la probabilità che anche la ottava dia donna è 1/3 * 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (e c'è una coppia di donne)
----- la probabilità che invece dia uomo è 2/3 * 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (e non ci sarà alcuna coppia di donne)
--- in caso contrario (con probabilità 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9) restano due donne, e un uomo per la ottava ed ultima estrazione
-------------- che tale ottava estrazione dia donna ha probabilità 2/3 * 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 (no coppia donne)
------------ che dia uomo ha probabilità 1/3 * 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 e determina un'ultima coppia tutta femminile.

Facendo i conti la somma delle probabilità di coppie femminili è
1/9 * 2/10 +1/7 * 2/8 * 8/10 * 7/9+ 1/5 * 2/6 * 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 + 1/3 * 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 + 1/3 * 2/4 * 3/5 * 4/6* 5/7 * 6/8 * 8/10 * 7/9 = 1/5 (1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9) = 1/9 = 11%
Conseguentemente la probabilità che non ci siano coppie femminili è 88,9%

ci sono?

[andomito]

E facendo qualche conto sui 100 tennisti

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mi verrebbe che le percentuali si invertono, diventando l'88,9% probabile che ci sia almeno una coppia tutta femminile

[axpgn]

Il numero finale è giusto ma non ho avuto la forza di leggere tutto e quindi non saprei dirti se il procedimento è completamente corretto (anche perché hai lasciato lo stesso errore di prima … )
C'è una strada più semplice (e ancor meglio la soluzione generale … anche perché voglio vederti con cento giocatori )

Cordialmente, Alex

P.S.: non è quella la percentuale per il caso $20/100$

[superpippone]

Per i 10 tennisti

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La probabilità che la prima coppia sia di donne è $2/10*1/9=1/45$ però le coppie sono 5. Perciò $1/45*5=1/9$ di conseguenza la possibilità che non venga sorteggiata la coppia di donne è $1-1/9=8/9$ altro metodo $1-2/10*1/9*(5!)/(4!*1!)=8/9$ oppure molto più semplicemente, data una donna, la possibilità che non peschi l'altra donna è $8/9$

[superpippone]

Per i 100 tennisti.

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$(20!*80!*60!)/(100!*60!)*2^20*(50!)/(30!*20!)$

Che ovviamente non so quanto fa........