Multipli di 5

[3m0o]

Qual'è la cardinalità minimale in modo tale che comunque scelto un sottoinsieme di \( \mathbb{N} \), di tale cardinalità, contenga sicuramente almeno 5 numeri che sommati danno un multiplo di 5.

[gio73]

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9

[axpgn]

@gio73

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Come ci sei riuscita? Finora non sono riuscito a "smontarlo"

Otto non sono sufficienti, vedi per esempio $5, 10, 15, 20, 1, 6, 11, 16$

Pensavo ne occorresse qualcuno in più …

Cordialmente, Alex

[gio73]

@alex
Aspettiamo Conferme o smentite

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ho considerato solo le cifre delle unità e ho fatto dei tentativi, tra l altro ti bastano 01234, perché poi la situazione si ripete.

[axpgn]

@gio73

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… mmm … non la vedo così facile, la casistica è decisamente GRANDE
Anch'io son partito dai resti e da quelli si stabilisce velocemente un "upper bound" di $20$ dato che non possono esserci più di quattro occorrenze per ogni resto e un "lower bound" di $8$ dato che con quattro $0$ e quattro $1$ (come resti intendo) non puoi ottenere un multiplo di cinque.
Però, poi, un modo "semplice" di dimostrare che quella è la soluzione non l'ho ancora trovato (anche se facendo diversi conti non ho trovato un controesempio).

[gio73]

@alex

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proviamo così
Notiamo che la massima variabilità ce l abbiamo con coppie di resti uguali e un singoletto. Quel caso soddisfa la richiesta di 5 numeri somma 5. Sempre quale che sia il singoletto. Ok?
Passiamo alle triplette?
Anche qui tre triplette Cmq prese soddisfano il caso.
2 triplette e altri liberi? Avanzano 3 posti e 3 numeri. O tutti diversi e si continua a verificare il caso. O mettendo una coppia ne devi escludere 1. Anche qui però quale escludi per evitare il caso?
Le quaterne si verificano più velocemente.

[axpgn]

@gio73

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Infatti son partito dalle quaterne
La tua "schematizzazione" è più efficiente della mia però mi sono accorto che, comunque, rimane sempre un po' di lavoro da fare, infatti mi sono stufato prima di arrivare in fondo

Cordialmente, Alex

[gio73]

perchè un po' di lavoro da fare?
Devi solo verificare i casi che potrebbero verosimilmente negare la congettura iniziale.

[axpgn]

Non sono così pochi come credevo ... mi sono stufato presto, sarà il caldo

[gio73]

aspetto sempre conferme (o smentite) da parte di shivering