Una corda attorno alla Terra

[axpgn]

Un quesito classico è quello della corda avvolta intorno alla Terra (supposta perfettamente sferica e avente una circonferenza equatoriale di 40.000 km); se volessimo alzarla ad un metro da terra (costante) di quanto dovremmo allungarla? La risposta (apparentemente) sorprendente è: solo $2pi$ metri.
Meno inflazionata è la versione dall'altro punto di vista: supposto di avere una corda lunga 40.000 km più un metro e di avvolgerla intorno all'Equatore tenendola ad un'altezza costante dal suolo, sarebbe distante a sufficienza dal terreno perchè ci passi un topo? Sicuramente, dato che sarebbe distante all'incirca 16 cm.
La terza versione è la seguente: avvolgiamo la nostra corda lunga 40.000 km più un metro attorno all'Equatore della nostra Terra perfettamente sferica e in un punto la tiriamo il più possibile verso l'alto (in figura, che non è nelle proporzioni corrette, l'idea di quello che intendo dire).

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Quanto sarà distante da terra il punto più alto? Ovvero quanto vale $h$ in figura?
Prima di usare Wolfram per trovare la soluzione, provate a stimarla, a occhio

Cordialmente, Alex

[veciorik]

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\(r=20*10^6/\pi \ m \quad \) \(\quad \pi\simeq3\)
\(0.5/r=\tan(\theta)-\theta \simeq\theta ^3 / 3 \quad \rightarrow \quad \theta \simeq .006 \)
\((1+h/r)^2=1^2+\tan(\theta)^2 \quad \rightarrow \quad 1+2h/r \simeq 1+\theta^2 \quad \rightarrow \quad h\simeq r\theta^2/2\simeq 120 \ m\)

[veciorik]

Con Wolfram:

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$h=121.43$ metri

[Bokonon]

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Senza far conti, 0<h<1/2 m perchè se avviluppassi la corda attorno alla terra mi avanzerebbe un metro piegato in 2.
Considerando che l'angolo che si forma tirando la corda sarà vicino a $pi$, direi che h sarà un valore assai vicino a zero

P.S. Scordavo il commento pedante...va specificato che la corda non è elastica

[axpgn]

@veciorik

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A me viene $121,51\text( m )$ usando Excel come supporto per i calcoli.
Credo di aver seguito una strada simile alla tua anche se non ho capito alcune cose, per esempio da dove viene $theta^3/3$?

@Bokonon

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Fai considerazioni corrette ma la conclusione è errata

P.S. Scordavo il commento pedante...va specificato che la corda non è elastica

Oh, certamente ... e chissà quante altre specificazioni andrebbero fatte ...

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Con le stesse formule approssimate, ma con più decimali (calcolatrice di Windows 7):

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\(r=20*10^6/\pi \ m \quad \)
\(0.5/r=\tan(\theta)-\theta \simeq\theta ^3 / 3 \quad\) = secondo termine dello sviluppo in serie \(\rightarrow \quad \theta \simeq .0061765.... \)
\((1+h/r)^2=1^2+\tan(\theta)^2 \quad \rightarrow \quad 1+2h/r \simeq 1+\theta^2 \quad \rightarrow \quad h\simeq r\theta^2/2\simeq 121.429.... \ m\)

Con WolframAlpha:

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\(0.5/r=t-\arctan(t) \quad \rightarrow \quad t = 0.00617647 \)
\((1+h/r)^2=1^2+t^2 \quad \rightarrow \quad h=r (\sqrt{1+t^2}-1) = 121.43018... \)

[Bokonon]

@axpgn

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In effetti il triangolo isoscele di lato 1/2 si solleva...e non poco...grazie al pezzo di circonferenza stesa.
Quindi h diventa piuttosto grande (vista la circonferenza della terra).

Però non mi tornano i vostri conti.


AB è la porzione di circonferenza stesa (l'arco) + mezzo metro e deve essere tangente alla terra.

$R=20000/pi$
$tan(k)=(AB)/(CB)=1/(2R)+k=pi/40000+k$ con $0<k<pi/2$
Risolvendo si ottiene $k=0,061733$

$cos(k)=(BC)/(AC)=R/(R+h)$ da cui $h=R/cos(k)-R=20000/(picos(k))-20000/k=12,15 km$

Magari oggi è una brutta giornata ma non vedo dove sbaglio.


P.S. Ops non ho convertito in metri, LOL. meglio se continuo a guardarmi la diretta.
Dopo converto in metri...

[axpgn]

@Bokonon

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Il problema è che ti sei perso uno zero in $k$ … e in effetti dipende solo dalla mancata conversione in metri …

[Bokonon]

@axpgn
(Calcolo corretto)

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In effetti il triangolo isoscele di lato 1/2 si solleva...e non poco...grazie al pezzo di circonferenza stesa.
Quindi h diventa piuttosto grande (vista la circonferenza della terra).


AB è la porzione di circonferenza stesa (l'arco) + mezzo metro e deve essere tangente alla terra.

$R=20000000/pi metri$
$tan(k)=(AB)/(CB)=1/(2R)+k=pi/40000000+k$ con $0<k<pi/2$
Risolvendo si ottiene $k=0,00618$

$cos(k)=(BC)/(AC)=R/(R+h)$ da cui $h=R/cos(k)-R=20000000/(picos(k))-20000000/k=121,57 m$

[axpgn]

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La cosa buffa è che concordiamo sui metri ma i centimetri …

Visto il problema "classico" rimane "sorprendente" la soluzione così "lunga" e pure il fatto che aumentando il raggio, aumenta anche $h$ ... o no ?

Tra l'altro il cateto tangente è lungo quasi $40\text( km)$, non male ...

Cordialmente, Alex