Sangaku

[axpgn]

Sia dato un semicerchio di diametro $c$ e un triangolo rettangolo in esso inscritto di lati $a, b, c$.
Si tracci l'altezza relativa all'ipotenusa, che divide il semicerchio in due parti.
In ciascuna di queste si disegni un cerchio tale che sia tangente all'altezza, all'ipotenusa e al semicerchio.
Determinare i raggi dei due cerchi in funzione di $a, b, c$.

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Cordialmente, Alex

[orsoulx]

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$ r_1=b-b^2/c; r_2=a-a^2/c ; r_1+r_2=a+b-c$

Ciao

[axpgn]

Bene!

Una dimostrazione?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:
mi pare che le dimostrazioni non facciano parte della 'filosofia' dei sangaku ed inoltre questo è di una difficoltà decisamente bassa rispetto alla media. Non essendo shintoista cerco di accontentarti.

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L'altezza del triangolo divide l'ipotenusa in due parti di lunghezza $ a^2/c " e " b^2/c $.
Per essere tangenti ai segmenti i centri delle circonferenze devono appartenere alle bisettrici degli angoli (retti) fra l'altezza e l'ipotenusa.
Per essere tangenti all'ipotenusa e alla semicirconferenza i centri devono appartenere alla parabola che ha fuoco nel centro della semicirconferenza e per direttrice la parallela all'ipotenusa tangente alla semicirconferenza.
Per determinare il centro della circonferenza a destra utilizzando la geometria analitica conviene porre l'origine nel vertice di sinistra del triangolo con l'ipotenusa che giace sull'asse delle ascisse. L'equazione della parabola è allora $ y=-x^2/c+x $ e quella della bisettrice $ y=x-a^2/c $, confrontando le due equazioni si ottiene $ x^2=a^2 $ che ha per soluzione positiva $ x=a $, da cui $ r_2=y=a-a^2/c $.

Volendo evitare la geometria analitica basta considerare il triangolo rettangolo avente per vertici il centro della semisirconferenza, il centro della circonferenza ed il punto di tangenza di questa con l'ipotenusa del triangolo iniziale. L'ipotenusa misura $ c/2-r_2 $, il cateto verticale $ r_2 $ ed il cateto orizzontale $| (r_2+a^2/c)-c/2| $. Il teorema di Pitagora fornisce $ (r_2+a^2/c)^2=a^2 $.

Ciao

[axpgn]

È vero che "The proof of the theorem is usually not given, only the result" ma è altrettanto vero che "Each tablet states a theorem or a problem. It is a challenge to other experts to prove the theorem or to solve the problem."

Io ho seguito la seconda strada che hai detto

Ciao, Alex