Il melone affettato

[Mario75]

Ax la formula che hai postato sopra dove la posso trovare? hai qualche riferimento?

Mi sembra di capire sia valida per qualsiasi cubo e per ottenere il massimo numero di parti tutte diverse tra loro, non uguali quindi

[axpgn]

L'avevo letta in qualche libro ma non ricordo quale (mi segno cose che potrebbero interessarmi e talvolta le ritrovo )
Se vale per un cubo generico ovviamente vale per tutti i cubi ... comunque non implica che i pezzi siano necessariamente tutti diversi ...

[Mario75]

anche a me capita te lo posso garantire

Quindi nella formula con n abbiamo i numeri di tagli?

Ho fatto la prova e se prendiamo un cubo standard con 6 tagli otterremmo un totale di 27 cubetti uguali, un cubo 3x3x3 in sostanza

Se sostituisco nella formula però ottengo 42 cubi

c'è qualcosa che non ho capito nella formula?

O è il mio esempio sopra a non essere pertinente Ax?

[axpgn]

Con $6$ tagli si possono ottenere fino a $42$ pezzi (non cubi, probabilmente ma non necessariamente diversi e di dimensioni anche molto diverse).
Ottenere pezzi tutti uguali è un altro problema, un problema diverso.

[Mario75]

Grazie Ax, mi segno la formula

Se poi riesci a trovare la fonte, fammi sapere per cortesia

[axpgn]

La fonte non so però la posso dimostrare

Non adesso però quando avrò un po' di tempo ...

[Mario75]

La fonte non so però la posso dimostrare

Non adesso però quando avrò un po' di tempo ...

Quando puoi Ax grazie

Quella formula, lo avrai notato, mi incuriosisce e non poco... Oltre ad essere davvero molto utile per risolvere in tempo zero questo tipo di problemi

[axpgn]

Ecco la mia dimostrazione …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Inizio con la dimostrazione della suddivisione del piano da parte di rette e poi passerò alla suddivisione dello spazio da parte di piani; questo perchè quest'ultima è analoga alla prima e uitlizza i suoi risultati.


Dato un piano, è evidente che per dividerlo nel maggior numero di aree le nostre rette devono essere tutte incidenti fra loro a due a due.
Ogni retta coincidente con un'altra non accresce il numero di regioni così come due rette parallele, altrettanto accadrebbe se tre o più rette avessero un punto in comune.
Supponiamo che il piano sia già suddiviso (al suo massimo) da $k$ linee, aggiungiamo la $k+1$-esima, che taglierà le $k$ linee precedenti in $k$ punti di intersezione, generando $k+1$ nuove aree (una in più per ogni area dopo ogni punto attraversato più l'area iniziale).
Quindi col primo taglio avremo $2$ aree, col secondo ne aggiungiamo $1+1$, col terzo $2+1$, ecc. ossia con $n$ tagli $2+2+3+4+...+n=(n(n+1))/2+1$.
Il ragionamento per la suddivisione dello spazio è analogo.
Il massimo numero di regioni in cui possiamo suddividere lo spazio è raggiungibile se i piani si incontrano in modo tale che ogni tre piani qualsiasi abbiano un solo punto in comune e non ci siano quattro o più piani che abbiano un punto in comune.
Supponiamo di aver già suddiviso lo spazio al massimo possibile con $k$ piani. Un nuovo piano incontrerà i $k$ piani in una linea; per quanto detto in ipotesi, due qualsiasi di queste linee si incontreranno in un solo punto e non ci sono tre linee che abbiano un punto in comune.
Allora, per quanto dimostrato precedentemente, queste $k$ linee divideranno il $k+1$-esimo piano in $(k(k+1))/2+1=(k^2+k+2)/2$ parti, ciascuna delle quali è la superficie con cui il $k+1$-esimo piano incontra le parti formate dai $k$ piani precedenti.
Quindi il $k+1$-esimo piano divide le $(k^2+k+2)/2$ regioni in due aggiungendone $(k^2+k+2)/2$.
Come abbiamo fatto precedentemente il numero di regioni formato da $n$ piani sarà $2+(1^2+1+2)/2+(2^2+2+2)/2+...+((n-1)^2+(n-1)+2)/2$ da cui, elaborandolo un pochino, giungiamo a $(n^3+5n+6)/6$


Ritengo (non solo io, per la verità ) che queste dimostrazioni si possano estendere dal piano ai cerchi e ai quadrati e dallo spazio ai cubi e alle sfere.
Per esempio, se abbiamo suddiviso lo spazio con $n$ piani nel massimo numero possibile di regioni diverse e separate, è sempre possibile costruire un cubo che contenga almeno un pezzo di ciascuna regione (ovvero senza che al di fuori del cubo ci siano intersezioni tra tre piani), quindi riscalando il tutto possiamo ottennere qualsiasi cubo vogliamo.

Cordialmente, Alex

[Mario75]

Grazie Ax sei sempre di parola

Mó me la leggo e nel caso ti rompo le scatole per i chiarimenti.
Grazie mille per la disponibilità