Il melone affettato

[Mario75]

Ciao a tutti,

Un amico mi ha chiesto quante fette si possono al massimo ottenere dal taglio di un melone con 20 tagli.
Io gli ho dato una risposta

Secondo voi quante potrebbero essere?


Mario

[axpgn]

Mah …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

So che un cubo può essere diviso in $1351$ parti con $20$ tagli (ovvero con $n$ piani (tagli) è possibile ottenere al massimo $(n^3+5n+6)/6$ regioni di spazio (fette) diverse e separate).
Non saprei se vale anche per una sfera, forse sì; dato che la formula precedente vale per qualsiasi cubo di qualsiasi dimensione, basta prendere una sfera più grande del cubo )

Cordialmente, Alex

[Mario75]

Ciao Ax,

Non saprei darti una risposta col cubo, ti posso dire come ho ragionato io con una sfera che in questo caso è il melone grosso modo

Ho pensato che con ad esempio i primi 2 tagli "a croce" ottengo 4 pezzi di melone, poi se prendiamo quei 4 pezzi e li mettiamo però in fila uno sopra l'altro e facciamo un terzo taglio di lungo sopra quelle 4 fette ottengo 8 pezzi, se prendiamo 8 pezzi e faccio un quarto taglio sopra ottengo 16 pezzi... E così via... Con 5 tagli arriverei a 32 pezzettini...in sostanza i pezzi generati raddoppiano ad ogni taglio incrementale
2^5=32

Ho quindi"dedotto" che per 20 tagli avrei adoperato l'elevazione a potenza per ottenere quanto richiesto, perché ho notato questo pattern ed effettivamente anche disegnandolo con 5 tagli si ottengono effettivamente 32 parti ragionando in quel modo però....

Non so però se il mio ragionamento possa avere delle falle francamente e se il col tuo cubo si possa ragionare uguale

Che ne pensi /pensate?

[axpgn]

Beh, questo è un problema differente… se puoi spostare e reimpilare i pezzi diventa una questione completamente diversa … in pratica ogni pezzo che si crea da un taglio diventa di fatto come un pezzo "nuovo", mai tagliato, è come se ricominciassi dall'inizio e reimpilandoli, moltiplichi il gesto per il numero di pezzi che hai in quel momento.

[Mario75]

Si in pratica taglio ciò che è stato generato da un altro taglio

Ma anche nel tuo cubo vai a fare la stessa cosa anche se non impili le sezioni, o no?

[axpgn]

No.

[Mario75]

Allora non riesco a visualizzare in che modo tagli

Riesci a mandarmi qualcosa così per rendermi l'idea?

[axpgn]

Anch'io non riesco a "visualizzare" i tagli ma è ovvio che impilandoli puoi tagliare nuovamente tutti i pezzi ottenuti dal taglio precedente mentre se non li sposti questo non è sempre possibile.
Ti faccio il classico esempio in due dimensioni; prendi un cerchio, fai un taglio e ottieni due regioni; le lasci dove sono e fai un secondo taglio ottenendo quattro regioni in totale (ognuna delle due precedenti viene divisa in due quindi ne aggiungi due a quelle che già avevi); non sposti niente.
Adesso immagina di iniziare il terzo taglio da un punto qualsiasi, la zona da cui inizi la chiamiamo "zona zero" e la dividi in due (crei di fatto una zona in più rispetto a prima); proseguendo con il taglio prima o poi incontrerai tutti i tagli fatti precedentemente (al massimo) ovvero due in quanto due rette incidenti (il taglio che stai facendo ora e quello fatto prima che incontri) hanno un solo punto in comune.
Ad ogni incontro passi in una zona nuova e la dividi in due, aggiungendo una nuova zona al totale.
Di conseguenza le nuove zone sono tante quanti i tagli precedenti più una (la zona zero).
Al terzo taglio perciò le zone aggiunte saranno due più una, in totale tre. E non quattro
E così via …

[Mario75]

Ok Ax, ora ti seguo grazie

Penso a sto punto che bisognerà specificare se facendo i tagli posso muovere e disporre dei pezzi generati dai tagli oppure no.

Stiamo però ragionando per tagli in linea retta.... Pensi che ci possano essere diversi scenari se i tagli fossero anche circolari?

[axpgn]

Ovviamente in questo tipo di problemi ci si riferisce normalmente ai tagli come rette nel piano o piani nello spazio, altrimenti puoi ottenere quello che vuoi (o quasi) a seconda di quello che puoi fare …