Strategia

[3m0o]

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Ho dato solo un'occhiata al link ma non è questo il punto (a occhio penso sia lo stesso concetto già detto da Brancaleone): come l'hai scritta tu non è quella dimostrazione, non è chiara, insomma non funziona
Rileggi anche solo i due punti che ti ho sottolineato …

Che significa "ignorare"? Cosa intendi dire precisamente?
Cosa significa "il primo gioca come il secondo ma dopo che ha già fatto la sua prima scelta"?
Non è questo che si intende con "rubare il gioco …
Non dico di più, per ora … …

Cordialmente, Alex

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No sono due cose diverse!
Ignorare significa questo: il primo giocatore scrive un numero \(k_1 \) il secondo giocatore applica la strategia vincente \(S_L\) e scrive \( \ell_1 \), il primo giocatore ora gioca come se non avesse scritto \(k_1\) e applica \(S_L\) e considera \( \ell_1 \) come primo numero.
Mi sono reso conto però che non funziona poiché muovere per primo può essere uno svantaggio se scrive il numero sbagliato. Ad esempio se \(L=3 \), e il primo giocatore scrive \(3\) oppure \(2\) perde sicuramente.
E questo ragionamento può essere applicato solo nei giochi in cui muovere per primo non è mai uno svantaggio indipendentemente dalla mossa che uno fa.

Edit:

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Oddio... non so in realtà, non ho mai fatto teoria dei giochi seriamente. Magari è applicabile a questo gioco, ma non ne ho idea. L'unico problema che vedo è che se la strategia \(S_L\) applicata al primo numero \( \ell_1\) dice al primo giocatore di scrivere un numero che è un divisore di \(k_1\).
Se gli dicesse di scrivere \( k_1 \) oppure non un divisore di \(k_1\) allora la strategy-stealing argument funziona. Ma potrebbe non essere questo il caso, quindi... mah?!

[axpgn]

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… il primo giocatore ora gioca come se non avesse scritto \(k_1\) e applica \(S_L\) e considera \( \ell_1 \) come primo numero. …

Scusami ma questo non ha senso, un giocatore non può giocare come "se non avesse fatto" quella mossa per il semplice fatto che l'ha fatta ovvero sono due "sequenze" di gioco diverse aver fatto una mossa e non averla fatta, inoltre un giocatore NON può nello stesso gioco "usare" la strategia vincente (se esiste in quel gioco) dell'altro perché se fosse possibile allora la strategia NON sarebbe vincente per l'altro … ok?

D'altronde, mi pare che hai constatato tu stesso che non funziona

Ho detto troppo … per ora …

Cordialmente, Alex

[3m0o]

Edit:

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Oddio... non so in realtà, non ho mai fatto teoria dei giochi seriamente. Magari è applicabile a questo gioco, ma non ne ho idea. L'unico problema che vedo è che se la strategia \(S_L\) applicata al primo numero \( \ell_1\) dice al primo giocatore di scrivere un numero che è un divisore di \(k_1\).
Se gli dicesse di scrivere \( k_1 \) oppure non un divisore di \(k_1\) allora la strategy-stealing argument funziona. Ma potrebbe non essere questo il caso, quindi... mah?!

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E se fosse solo questo il problema potrebbe essere risolto così:
Il primo giocatore scrive \(1\) al posto di \(k_1\), poi il secondo giocatore applica \(S_L\) a \(1\) scrive \( \ell_1\) e il primo giocatore applica \(S_L\) a \(\ell_1\), ed entrambi vincono, assurdo!

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… il primo giocatore ora gioca come se non avesse scritto \( k_1 \) e applica \( S_L \) e considera \( \ell_1 \) come primo numero. …

Scusami ma questo non ha senso, un giocatore non può giocare come "se non avesse fatto" quella mossa per il semplice fatto che l'ha fatta ovvero sono due "sequenze" di gioco diverse aver fatto una mossa e non averla fatta, inoltre un giocatore NON può nello stesso gioco "usare" la strategia vincente (se esiste in quel gioco) dell'altro perché se fosse possibile allora la strategia NON sarebbe vincente per l'altro … ok?

D'altronde, mi pare che hai constatato tu stesso che non funziona

Ho detto troppo … per ora …

Cordialmente, Alex

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No leggi bene cos'è la strategy-stealing argument, può benissimo!! Se non funziona non è per questo motivo che hai detto.
Ad esempio nel tris questa argomentazione dimostra che il secondo non possiede una strategia vincente!
Il ragionamento è questo:
Ipotesi: Il secondo ha una strategia vincente
Il primo giocatore fa una mossa a caso che non li porta svantaggio e poi applica la strategia vincente del secondo ignorando la sua prima mossa.
Entrambi vincono -> Contraddizione!!
Conclusione: il secondo non ha una strategia vincente

[axpgn]

Mi spiace ma mi pare che non tu non abbia compreso cosa significhi "rubare il gioco" (oppure nel modo in cui lo hai scritto non è questo che si capisce ma tutt'altro … IMHO )

Ovvero NON puoi "rubare il gioco" mentre stai giocando ma lo puoi fare a priori (se si può fare ovviamente)

Ma tagliamo la testa al toro, ecco la mia dimostrazione:

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Chiamo $A$ colui che gioca per primo e $B$ colui che gioca per secondo.

Supponiamo che $B$ abbia sempre una strategia vincente ovvero qualsiasi mossa faccia $A$ (prima compresa), $B$ è in grado di ribatterla, sempre. Chiaro?
Se $B$ non è in grado di rispondere sempre nel modo giusto, significa che NON ha sempre una strategia vincente.

Il numero $1$ può essere scritto (eventualmente) solo da $A$ e solo alla prima mossa di $A$.
Supponiamo che $A$ parta con lo scrivere il numero $1$; allora, siccome abbiamo supposto che $B$ ha sempre una strategia vincente, esiste almeno un $n$ compreso tra $1<n<=L$ che se scelto da $B$ porti alla sua vittoria.
Ma allora ne consegue che $A$ può iniziare lui da quel preciso $n$ e quindi vincere sicuramente.
D'altra parte se non esistesse nessun $n$ (compreso tra $1<n<=L$) che $B$ possa scegliere per vincere in modo sicuro allora la scelta di $1$ da parte di $A$ è sicuramente vincente.

In entrambi i casi $A$ ha sempre una strategia vincente.

(quale effettivamente questa sia è un altro paio di maniche )

Cordialmente, Alex

[3m0o]

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E se fosse solo questo il problema potrebbe essere risolto così:
Il primo giocatore scrive \(1\) al posto di \(k_1\), poi il secondo giocatore applica \(S_L\) a \(1\) scrive \( \ell_1\) e il primo giocatore applica \(S_L\) a \(\ell_1\), ed entrambi vincono, assurdo!

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Si esatto così funziona!!
Supponiamo che esiste una strategia vincente \(S_L(n)\) per il secondo giocatore, questo vuol dire che qualunque sia il numero \(n\) con \(1 \leq n \leq L\) scritto dal primo giocatore il secondo può sempre rispondere in modo tale che vince la partita.
Chiaramente per la regola 2. se il primo giocatore scrive un numero \(n\) compreso tra \(1 < n \leq L\) allora la strategia \(S_L(n)\) non dirà mai al secondo giocatore di scrivere \(1\) poiché non è un numero valido siccome \(1\) è divisore di \(n\).
Vogliamo dimostrare che l'esistenza di una strategia vincente \(S_L(n)\) per il secondo giocatore implica l'esistenza di una strategia vincente \(\tilde{S}_L\) per il primo giocatore, e questo è un assurdo poiché solo uno dei due può vincere la partita.
Partita ipotetica: strategia \(S_L(n) \) con \(1 < n \leq L \)

Sotto le nostre ipotesi abbiamo che se il primo giocatore scrive un numero qualunque numero tra \(1 < n \leq L \) allora il secondo giocatore vince scrivendo \( k_n \neq 1 \) in risposta a \(n\).

Partita reale: La strategia vincente \( \tilde{S}_L \) per il primo è la seguente scrive \(1 \) poi gioca \( S_L(S_L(1)) \).

Il giocatore 1 scrive \(1\).
Il giocatore 2 scrive \( S_L(1)\) e vince la partita
Il giocatore 1 scrive \( S_L( S_L(1) ) \) e vince la partita
Se il giocatore 1 non vincesse la partita vuol dire che se alla prima mossa avesse scritto \( S_L(1) \) allora il giocatore 2 non possiede una strategia vincente per questo numero, che va contro le nostre ipotesi.

Quindi se esiste una strategia vincente per il secondo giocatore esiste una strategia vincente per il primo e questo è assurdo!

E come puoi vedere ho applicato la strategy-stealing argument!! E non c'è alcun problema nel farlo!

Ps: ho notato adesso che abbiamo scritto la stessa cosa
Probabilmente mi ero spiegato male inizialmente, ma intendevo questo con la strategy-stealing argument.

Ho capito cosa non hai capito nel mio ragionamento iniziale. (edit:)

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Al di là del fatto che la strategy-stealing per questo gioco funziona solo se il primo giocatore scrive \(1\) e non un numero a caso come pensavo inizialmente. Ma quando intendevo che gioca ignorando il primo numero intendevo che nella sua testa fa una partita ipotetica (guarda il messaggio sopra) in cui lui è il secondo giocatore, questa partita ipotetica risulterebbe vinta dal secondo giocatore applicando \(S_L\) e in questa partita ipotetica lui è il secondo giocatore. Siccome vince la partita ipotetica vince anche la partita reale in cui scrive \(1\) ed è primo giocatore, ma è assurdo se il secondo giocatore possiede una strategia vincente.
Chiaro che sia la "partita ipotetica" che la "partita reale" sono giocate a priori poiché non esiste alcuna partita in cui il secondo giocatore possiede una strategia vincente, ma sotto l'ipotesi che il secondo possieda una strategia vincente (cosa non fattibile) può effettivamente giocare la "partita reale" rubando la strategia "a posteriori", ma dal momento che l'ipotesi non è mai soddisfatta non potrà mai giocare questa "partita reale" e rimane un argomentazione a priori.
Sostanzialmente tu mi dici che il primo giocatore vince o la "partita ipotetica" o la "partita reale" quindi il primo possiede una strategia vincente ed il secondo no, ed è corretto!
Io dico che qualunque numero scriva il primo giocatore il secondo giocatore vince, ma sotto questa ipotesi sia il primo che il secondo giocatore vincono la "partita reale", assurdo! Ed è corretto!

[axpgn]

Probabilmente mi ero spiegato male inizialmente, …

E da un po' che te lo stavo dicendo … e non è indifferente la cosa

Cordialmente, Alex