Il distanziamento sociale

[chalten]

Ciao a tutti,

sono nuovo del forum e innanzitutto grazie dell'accogIienza.

Vorrei proporre un 'gioco' che in qualche modo risolve un problema pratico: il distanziamento sociale in ambienti limitati. Ci sto pensando da un po' ma non riesco a trovare un approccio convincente alla soluzione.

Consideriamo un rettangolo di dimensioni assegnate 'a' e 'b' e che, nella stessa unità di misura, sia 'd' la distanza minima a cui due 'particelle' confinate all'interno del rettangolo non possano avvicinarsi.

La domanda è: per valori fissati di 'a', 'b', e 'd', qual'è il numero massimo di particelle che possono muoversi nel rettangolo senza violare il vincolo del distanziamento?

Esiste una formula generale che risolve il problema? E se le condizioni geometriche del problema cambiano (i.e. un cerchio, o un poligono invece di un rettangolo) cosa succede?

Ricordo un problema simile apparso tra i giochi matematici di Martin Gardner di tanti anni fa relativo agli invitati ad una festa e a una sorta di 'potenziale di timidezza' che li teneva lontani tra di loro ma più in la' non vado...

Cosa ne pensate? Tutto questo ha un senso?

Grazie a tutti e saluti!

chalten

[axpgn]

Hai detto niente

Non ho una risposta però qualche tempo fa avevo letto un articolo su un libro (però vecchio di cinquant'anni ) che diceva che questo era un problema ancora aperto, nel senso di una "formula" generale mentre casi particolari erano stati risolti.
L'autore chiamava questo problema "the dispersal problem" (in contrapposizione al "best deployment problem" cioè la distanza minima tra $n$ "particelle" su un data area), potresti cercare questo in letteratura.
Purtroppo nel libro riportava solo l'esempio della sfera (che, anche se non sembra, ha svariati risvolti pratici, come per esempio il minor numero di satelliti necessari per controllare la Terra), e diceva che si conoscevano le soluzioni per $2<=n<=12$ e $n=24$ (allora, ora non so … ), però non le ha scritte

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Riflettendoci un pochino però mi pare che il tuo sia, in sostanza, un problema di "impacchettamento"
A memoria, in un rettangolo, il modo migliore di "impacchettare" è quello esagonale ... forse ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Mi pare proprio che si possa schematizzare come un problema di impacchettamento: ogni persona è il centro di un cerchio di raggio $d/2$ e si tratta di farcene stare il più possibile in un data area senza che si sovrappongano.
La maggior densità la si ha con un impacchettamento esagonale ma questo è strettamente vero solo in un piano infinito mentre in un'area "delimitata" ... dipende ...
Per esempio in un quadrato $10 xx 10$ ci stanno tranquillamente $100$ cerchi di diametro unitario ma se usi la disposizione esagonale ce ne stanno $105$ ... epperò si può far meglio

Cordialmente, Alex