Esercizio 18 Semifinali Bocconi 2020

[axpgn]

Ho provato a schematizzare un po' la situazione, vedi se ti può essere utile …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ci sono quindici stati, anzi sedici con lo stato di partenza $S$ e sarebbero
$a=\text(AGM)$
$b=\text(AMG)$
$c=\text(GAM)$
$d=\text(GMA)$
$e=\text(MAG)$
$f=\text(MGA)$
$g=\text(AG)$
$h=\text(AM)$
$i=\text(GA)$
$j=\text(GM)$
$k=\text(MA)$
$l=\text(MG)$
$m=\text(A)$
$n=\text(G)$
$o=\text(M)$
e i "percorsi" possibili dovrebbero essere questi
$S->1/6*a->1*k$
$S->1/6*b->1*k$
$S->1/6*c->1/6*b$
$S->1/6*c->5/6*l$
$S->1/6*d->1/6*e$
$S->1/6*d->5/6*l$
$S->1/6*e->1*a$
$S->1/6*f->1*c$
$g->1*m$
$h->1*m$
$i->1/6*g$
$i->5/6*n$
$j->1/6*l$
$j->5/6*n$
$k->(1-p)*h$
$k->p*o$
$l->(1-p)*j$
$l->p*o$
$m->m$
$n->n$
$o->o$

S.E.&O.

Cordialmente, Alex

[peppe_89]

Ho provato a schematizzare un po' la situazione, vedi se ti può essere utile …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ci sono quindici stati, anzi sedici con lo stato di partenza $S$ e sarebbero
$a=\text(AGM)$
$b=\text(AMG)$
$c=\text(GAM)$
$d=\text(GMA)$
$e=\text(MAG)$
$f=\text(MGA)$
$g=\text(AG)$
$h=\text(AM)$
$i=\text(GA)$
$j=\text(GM)$
$k=\text(MA)$
$l=\text(MG)$
$m=\text(A)$
$n=\text(G)$
$o=\text(M)$
e i "percorsi" possibili dovrebbero essere questi
$S->1/6*a->1*k$
$S->1/6*b->1*k$
$S->1/6*c->1/6*b$
$S->1/6*c->5/6*l$
$S->1/6*d->1/6*e$
$S->1/6*d->5/6*l$
$S->1/6*e->1*a$
$S->1/6*f->1*c$
$g->1*m$
$h->1*m$
$i->1/6*g$
$i->5/6*n$
$j->1/6*l$
$j->5/6*n$
$k->(1-p)*h$
$k->p*o$
$l->(1-p)*j$
$l->p*o$
$m->m$
$n->n$
$o->o$

S.E.&O.

Cordialmente, Alex

Il tuo suggerimento è stato determinante nel convincermi a rifare i conti per poi scoprire che... avevo fatto giusto durante i test ma avevo sbagliato l'ultimo passaggio.
Faccio tutto pulito con delle immagini e posto il procedimento

[axpgn]

@peppe_89

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Consiglio: non rispondere citando i messaggi per intero, è inutile e fastidioso, a maggior ragione se è il messaggio appena precedente.
Usa il tasto "CITA" per quotare parti di testo che ritieni assolutamente necessarie.
Per quanto riguarda le immagini se riuscissi ad evitarle sarebbe meglio perché prima o poi spariscono, se puoi fare qualche schemino sarebbe la cosa migliore.
Comunque, per inserirle usa il tasto "Aggiungi immagine" nel form di risposta, non usare link esterni.

Grazie

Cordialmente, Alex

[peppe_89]

Lo schema è il seguente:



E può essere semplificato così, eliminando gli stati la cui uscita è con probabilità 1 verso un altro stato:



Calcoliamo le probabilità di vincita dei tre partecipanti (c'è da calcolare la somma di una serie geometrica):



Tanto per avere una (parziale) conferma delle correttezza delle tre probabilità, si può vedere che la somma delle tre probabilità fa 1

Imponiamo che la probabilità di vittoria di Marco sia maggiore della probabilità di vittoria sia di Angelo che di Giorgio, nella variabile p (probabilità di successo della pistola di Marco)



Affinché Marco vinca, deve valere p >= 5/14
Nei giochi, ho risposto 5/14

Peccato che venisse chiesta non la probabilità di successo della pistola, ma la probabilità di vittoria.

Sostituendo p=5/14 in P(M), o in P(A) si ottiene facilmente 3/8, che è la risposta corretta

[axpgn]

Bello!

Ma hai fatto tutto questo alla prova?

Ho capito cosa mi mancava, non sapevo come gestire l'avanti e indietro tra $j$ e $l$ …
In pratica, lo consideri un numero infinito di volte e siccome il risultato è "finito" si può ottenere qualcosa di concreto ...

Bravo!

Cordialmente, Alex

[peppe_89]

Sì, ho fatto tutto questo ma poi ho dato come risposta 5/14

[axpgn]

Va beh, capita … consolati, che hai fatto un gran bel lavoro

Cordialmente, Alex