base 2001

[Thomas]

Si, ma cosa ne pensi della fine del ragionamento? Lo riscrivo chiaramente, così è più facile da correggere, nel caso:
quindi il numero è della forma:

n! = 2001^(k1) + 2001^(k2) + 2001^(k3)+...
con k1<k2<k3...

raccogliendo

n! =2001^k1*(1 + 2001^(k2-k1)+ 2001(k3-k1)+...) )

da quà si deduce che solo 3^k divide n! (il secondo termine non è divisibile per 3).. Ma n è sicuramente maggiore di 3k e quindi contiene un numero di fattori 3 che il secondo membro non è in grado di dare (infatti ogni multiplo di 3 minore di n fornisce almeno un fattore 3 nel primo membro). Quindi, a parte il caso banale n=1 nn esistono altri n che soddisfino la condizione....

[wedge]

ora la spiegazione è più chiara. credo tu abbia colto nel segno.

[tony]

scusate, arrivo tardi, a gioco forse concluso.
una domanda:
un numero come 11 101 1 0,
cioè 11*2001^3 + 101*2001^2 + 1*2001^1 + 0*2001^0
rientrerebbe nella specifica del problema?
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">("la rappresentazione di n! (=1*2*3*...*n) in base 2001 consiste solo di 0 ed 1)<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
tony

[wedge]

[quote
un numero come 11 101 1 0,
cioè 11*2001^3 + 101*2001^2 + 1*2001^1 + 0*2001^0
rientrerebbe nella specifica del problema?
[/quote]


io credo di no, perchè 11 in base 2001 sarebbe scritto con un segno specifico...

[Thomas]

La risposta di wedge mi pare appropriata, Tony. E così io ho considerato il problema. Nulla però ti vieta di cambiarlo, se ne hai voglia (anche se ci terrei più che altro che qualcuno trovasse una soluzione sintetica al secondo problema che ho postato)...
Magari basta solo qualche modifica alla soluzione data da mè al primo problema (che, per ora, rimane inconfutata, e quindi corretta fino a prova contraria ...[si può provare a scomporre e, osservato che 10^n =1 mod 3, lavorare di precisione mod 3].Ora però nn ho voglia di verificare: è stata una giornata pesante. Meno male che dopo sabato ci sono 3 giorni di pausa...
Tony e Wedge, siete interessati a problemini di questo tipo (livello che può variare naturalmente)? Se si ditemelo, che provvedo a postarne...Naturalmente la domanda è rivolta a TUTTI!

[andomito]

)
Dato un quadrato di lato unitario ABCD ed un punto P del piano dimostrare che vale PA*PB+PC*PD >= 1.
Il mio schizzo di soluzione (probabilmente errato)sfrutta le derivate e quindi, anche nel remoto caso che sia corretto, lo ritengo una m***a: datemi voi una mano!

Ponendo un sistema cartesiano con origine nel centro del quadrato e assi paralleli ai suoi lati, detta x l'ascissa di P e y la sua ordinata, applicando il vecchio caro teorema di pitagora avremo che la formula indicata è esprimibile come
$sqrt((1/2+x)^2+(1/2+y)^2)*sqrt((1/2-x)^2+(1/2+y)^2)+sqrt((1/2-x)^2+(1/2-y)^2)*sqrt((1/2+x)^2+(1/2-y)^2)$
Senza dover andare a fare conti, a questo punto basta osservare che si tratta di una funzione continua, derivabile, simmetrica rispetto ad entrambi gli assi, e dunque anche rispetto le diagonali, conseguentemente si ha un valore estremo quando P coincide con il centro del quadrato e ho PA=PB=PC=PD= $sqrt2 /2$ e conseguentemente PA*PB+PC*PD = 1
Qualunque spostamento di P rispetto tale posizione determina un aumento del risultato quindi si tratta di un minimo.
Esprimendo l'andamento della funzione sugli assi e sulle diagonali, si ricavano parabole, il che conferma che tale minimo è unico.
Potrebbe essere interessante verificare che succede considerando invece la funzione PA*PC+PB+PD (moltiplico le distanze da vertici non adiacenti, ma opposti).