Salve a tutti, mi sono bloccato durante lo svolgimento della seguente ricorrenza.
\begin{equation} \nonumber
T(n)=\begin{cases}
T(n-1)+\frac{2}{n} & \text{$n\geq 2$}.\\
O(1) & \text{$n < 2$}.
\end{cases}
\end{equation}
Iterando ottengo
\begin{align*}
T(n) & = T(n-1) + \frac{2}{n} \\
& = T(n-2) + \frac{2}{n} + \frac{2}{n-1} \\
& = T(n-3) + \frac{2}{n} + \frac{2}{n-1} + \frac{2}{n-2}\\
& = \dots \\
& = T(n-i) + \sum_{k=0}^{i-1} \frac{2}{n-k} \text{, con } n - i = 1 \text{, quindi } i = n - 1\\
\\
T(n) & = \sum_{k=0}^{n-2} \frac{2}{n-k}
\end{align*}
Arrivato davanti a questa sommatoria non riesco ad andare avanti, innanzitutto mi chiedo se ci sono dei passaggi che ho sbagliato, altrimenti come posso risolvere?
Nel materiale didattico del mio docente c'è questa serie armonica che viene trasformata nel modo seguente
\[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln n + O(1)\]
ma nel mio caso non so come trattare il denominatore $n-k$ della funzione.
Grazie a tutti!