Stima asintotica

Sia:
$ f(n)=sum^(i=1)i^k $
Con k= costante intera positiva. Si dimostra la falsità e la verità della seguente affermazione
f(n) = $ Theta (n^(k+1)) $

Io l’ho risolta in tal modo:
$ int_(1)^(n) x^a dx =((n^(a+1)-1)/(a+1)) $
Da ciò:
$ int_(1)^(n) x^a dx =(n^(a+1)+o (n^(k+1))) $
Ma:
$ o (n^(k+1))) appartiene a Omega (n^(k+1)) $
Quindi:
$ int_(n-1)^(1) x^a dx <sum^(i=1 \ldots) x^a<int_(1)^(n) x^a dx $
Allora:
f(n)= $ Theta ((n^(k+1))) $

Va bene?potete aiutarmi?
Grazie in anticipo ☺️

Nell'ultima disuguaglianza la stima dall'alto mi pare corretta , l'ultima pero' anche se fosse corretta come mi pare ,ricorda l'integrale di Rienmann , darebbe un'ordine piu' basso di un grado. Proverei a stabilire un'equazione di ricorrenza come quelle del noto teorema principale
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_principale ed a risolverla per ottenere la stima dal basso avendo col tuo metodo gia' quall dall'alto.

* la penultima pero' anche

Ci sono riuscito col metodo di sostituzione, il metodo iterativo e' ridondante e rioporta al problema di partenza.
Si dimostra con un'analogia fra una differnza finita e la derivata infatti (dx^(a+1)/dx vale come saprai (a+1)(dx^a/dx) e cosi' non c'e' bisogno di scrivere lo sviluppo del binomio di Newton di (n-1)^(a+1) e sostituendo il monomio piu' semplice moltiplicato per una costante arbitraria. Sostiutendo un polinomio un po' piu' articolato forse si possono ottenre dimostrazioni addirituura algebriche

Mi correggo Sara cara, al monomio molto semplice che tu troverai sicuramente e' necessario aggiugere una costante per sostituirlo a causa delle condizioni iniziali dell'equazione anch'essa facile . Tali condizioni devono essere soddisfatte da una costante arbitraria nel metodo mentre il mon0mio piu' la costante vanno prima a maggiorare e minorare l'ipotetica soluzione che puo' solo essere pensata come una funzione regolare