Il significato del termine "Risolvere" in matematica.

[mklplo]

Salve,volevo porvi una domanda,con la speranza che questa sia la sezione giusta.In qualche post fa mi fu detto che nel corso della storia,il significato matematico del termine "risolvere" ha cambiato significato,passando da indicare ,l'esplicitazione della soluzione(per esempio di un equazione differenziale) a capire se tale soluzione esista.Ora la domanda che vorrei porvi,se non vi reca disturbo, è:"Perché il significato di questo termine è cambiato?,e cosa ha comportato?".

[Luca.Lussardi]

Si', e' cambiato nel tempo proprio come ti e' stato detto, e l'esempio delle equazioni differenziali e' esemplare. Infatti, in generale non e' possibile integrare esplicitamente un'equazione differenziale, nemmeno quelle di forma piu' semplice: basta che prendi $y'(x)=e^{x^2}$, e' stato dimostrato (Liouville) che non esiste alcuna funzione "elementare" (cioe' costruita con le operazioni note e le funzioni elementari note, potenze, sin, cos, exp, log, ecc..) la cui derivata ti dia $e^{x^2}$, dunque questa semplicissima equazione ordinaria non puo' essere integrata in modo "esplicito", uno si deve accontentare, in prima battuta, di scrivere le soluzioni come $y(x)=y(0)+\int_0^xe^{t^2}dt$. Quello di cui si va alla ricerca e' quindi un teorema di esistenza (e magari di unicita') che ti garantisca che sotto opportune condizioni un'equazione differenziale abbia soluzione, anche se non la puoi scrivere esplicitamente. Questo passaggio, apparentemente speculativo, e' in realta' cruciale: solo dopo aver dimostrato in modo astratto che una soluzione ci deve essere si puo' studiare e implementare un metodo numerico che ti consenta di avere una forma approssimata della soluzione stessa.

[mklplo]

Grazie per la risposta,quindi dato che la soluzione esiste si può studiare,anche senza esplicitarla,in pratica lavorando con la forma implicita,giusto?

[Luca.Lussardi]

esatto.

[mklplo]

grazie nuovamente.

[gugo82]

Grazie per la risposta,quindi dato che la soluzione esiste si può studiare,anche senza esplicitarla,in pratica lavorando con la forma implicita,giusto?

Beh, a volte non serve nemmeno la "forma implicita"... Basta conoscere ed analizzare bene il problema dal quale la soluzione proviene.

[mklplo]

grazie anche a te,anche se penso che per fare questo,ci voglia un buon livello di conoscenza.

[mklplo]

scusate,se riesumo il post dopo 4 giorni,ma mi è venuto un dubbio:"quale fu il primo matematico a proporre questo approccio?
e trovò difficoltà nel far compiere questo passo ai matematici dell'epoca?".

[gugo82]

Si tratta di una naturale evoluzione del pensiero matematico, motivata (come molti altri sviluppi, come la nascita dell'Algebra Astratta o dell'Analisi Funzionale) dallo svilupparsi della teoria delle equazioni differenziali nella direzione indicata da Cauchy, ossia nel provare teoremi di esistenza piuttosto di cercare formule di rappresentazione delle soluzioni.

Per capire questi passaggi concettuali importanti, ti consiglio di leggerlo un paio di libri di Storia della Matematica: Boyer, Storia della Matematica ed Odifreddi, La Matematica del Novecento ... Come lettura estiva non sono affatto male!

[mklplo]

Grazie,proprio quello che cercavo(in quanto,fra 3 anni,all'esame di maturità,volevo portare proprio questo come argomento in matematica).