m.c.m e M.C.D per frazioni

[Davi90]

Carissimi,
Un amico mi ha chiesto delucidazioni sull' m.c.m e M.C.D tra due o più frazioni.
Da quello che ricordo l'ho sempre fatto tra numeri interi.

Qualcuno mi può fornire qualche chiarimento sull'argomento?
Non mi sembra di aver mai incontrato libri liceali in cui si definissero queste due nozioni per frazioni.

[@melia]

In effetti mcm e MCD sono definiti solo tra numeri interi diversi da zero, anzi, per la precisione, solo tra numeri naturali.
Tuttavia alcune volte potrebbe essere utile poter effettuare un raccoglimento in modo che un polinomio, originariamente a coefficienti razionali, diventi un polinomio a coefficienti interi. L'operazione che si deve fare è molto simile a un misto tra mcm e MCD, infatti la frazione che si "raccoglie" ha il numeratore che è il MCD dei numeratori dei coefficienti, mentre il denominatore è il mcm dei denominatori.
Ad esempio è dato il polinomio $P(x)= 12/5x^2-20/7x+8/21$
$mcm(5, 7, 21)=105$
$MCD(12, 20, 8)=4$
$P(x)= 4/105(105/4*12/5x^2-105/4*20/7x+105/4*8/21)=4/105 (63x^2-75x+10)$

[vict85]

In un campo, come i razionali, la equazione \(\displaystyle ax = b \) ha soluzioni per ogni \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) diversi da \(\displaystyle 0 \). In altre parole ogni frazione ne divide ogni altra. Ha quindi poco senso parlare di massimo comun divisore di due interi a meno di restringere in qualche modo il concetto di divisore, come mostrato nel messaggio precedente.

[Davi90]

Grazie per le risposte.
Le mie perplessità sono nate con il seguente esercizio.
Calcolare l'mcm e l'MCD dei seguenti monomi $ \frac{2}{3}xya^2,\quad \frac{1}{4}x^2y^3a,\quad \frac{1}{9}xya $

La parte letterale ovviamente viene $mcm=x^2y^3a^2$, $MCD=xya$, ma per la parte numerica non saprei come fare.
Voi, quindi, come la fareste?

[axpgn]

Li lasci così ...

[Davi90]

Li lasci così ...

Cioé?

[axpgn]

Quello che hai trovato va bene ed è sufficiente ... Non esistono il m.c.m. e l' M.C.D. di numeri razionali (meglio: non naturali).

[Davi90]

Eh infatti! Grazie della conferma. Perché MCD e mcm sono unici a meno di invertibili. Visto che siamo in almeno $\mathbb{Q}$ che è un campo, non ha senso mettere un coeff diverso da $1$