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quando si parla di volume della sfera, si dice che il primo a calcolarla fu Archimede. Poi la dimostrazione che si dà è quella basata sulla scodella di Galileo, che qualche libro chiama anticlessidra, e sul principio di Cavalieri. mi chiedo: la dimostrazione di Archimede è la stessa? o di quella di Archimede non se ne sa nulla??

No, il principio di cavalieri non era noto a Archimede. Archimede determina il volume della sfera ne "Il cilindro e la sfera", i metodi usati da Archimede sono soprattutto il "metodo di esaustione" e i cosiddetti "metodi meccanici". Per determinare il volume della sfera, praticamente, ha preso una semicirconferenza e vi ha inscritto un poligono regolare di n lati, ruotando il poligono otteneva un volume di una somma di n tronchi di cono (di cui in qualche modo conosceva come determinare il volume), aumentando sempre più il numero n di lati del poligono, arrivava a "esaurire" (da cui il nome di "esaustione") il cerchio, ossia ricoprire tutto il cerchio, quindi il volume di quei tronchi di cono era pari al volume della sfera. Al giorno d'oggi, ciò che ha fatto Archimede non è altro che determinare il limite per n che tende a infinito di quei volumi di tronchi di cono, solo che lui non conosceva i limiti e ha dovuto usare molto l'ingegno nel metodo di esaustione. Insomma, un genio.