da Luca.Lussardi » 06/08/2017, 10:40
Si', e' cambiato nel tempo proprio come ti e' stato detto, e l'esempio delle equazioni differenziali e' esemplare. Infatti, in generale non e' possibile integrare esplicitamente un'equazione differenziale, nemmeno quelle di forma piu' semplice: basta che prendi $y'(x)=e^{x^2}$, e' stato dimostrato (Liouville) che non esiste alcuna funzione "elementare" (cioe' costruita con le operazioni note e le funzioni elementari note, potenze, sin, cos, exp, log, ecc..) la cui derivata ti dia $e^{x^2}$, dunque questa semplicissima equazione ordinaria non puo' essere integrata in modo "esplicito", uno si deve accontentare, in prima battuta, di scrivere le soluzioni come $y(x)=y(0)+\int_0^xe^{t^2}dt$. Quello di cui si va alla ricerca e' quindi un teorema di esistenza (e magari di unicita') che ti garantisca che sotto opportune condizioni un'equazione differenziale abbia soluzione, anche se non la puoi scrivere esplicitamente. Questo passaggio, apparentemente speculativo, e' in realta' cruciale: solo dopo aver dimostrato in modo astratto che una soluzione ci deve essere si puo' studiare e implementare un metodo numerico che ti consenta di avere una forma approssimata della soluzione stessa.