Il significato del termine "Risolvere" in matematica.

[Indrjo Dedej]

Secondo me non c'è bisogno di andare così lontano. Si può benissimo discutere sulla "risoluzione" di questa equazione
$x^2=2$.
Alle superiori ti insegnano che le soluzioni sono $sqrt 2$ e $- sqrt 2$. E buona notte... Sì, ma c'è un "piccolissimo" problema: cos'è $sqrt 2$? E li ti viene data la definizione. Il problema è che è $sqrt 2$ è un simbolo che non significa niente. Cosa voglio dire con questo? Prima di parlare di qualcosa in matematica ci si interroga sull'esistenza o sulla sensatezza di ciò che si prende in esame. Nel nostro caso, abbiamo una semplice - si fa per dire - equazione. E prima di parlare delle sue soluzioni bisognerebbe chiedersi se ne ha almeno una. Dopo e solo dopo posso permettermi di dire quali sono le soluzioni indicandole con $sqrt 2$ e $- sqrt 2$, perché senza un teorema dell'esistenza questi simboli non avrebbero alcun significato, sarebbero soltanto aria fritta!

[gio73]

Il problema è che è $sqrt 2$ è un simbolo che non significa niente.

Non sono d'accordo

Cosa voglio dire con questo? Prima di parlare di qualcosa in matematica ci si interroga sull'esistenza o sulla sensatezza di ciò che si prende in esame.

direi che $sqrt2$ esiste ed è sensato...
Usando il compasso si rappresenta anche faciolmente sulla retta, più difficile è sistemare $pi$

[gugo82]

Beh, sono d'accordo con gio73.
Costruire il quadrato con area uguale a $2$ è banale e ciò consente di vedere l'esistenza della soluzione al problema anche senza avere a disposizione una buona teoria dei numeri reali...

[Indrjo Dedej]

Forse mi sono spiegato male e non ho fatto intendere quello che volevo. Mi scuso anche per il notevole ritardo. Pensavo di aver sottoscritto l'argomento, ma evidentemente non è così.
Nelle prime righe stavo cercando di riflettere su quello che alle superiori si fa. Di fronte a una equazione del genere lo studente passa brutalmente all'esplicitazione delle soluzioni. Solo che in questo contesto $sqrt 2$ è stato solo definito. Ma avrebbe bisogno del suppprto di un teorema dell'esistenza, prima di poter nominare certe cose. Questo era il succo del mio post precedente.

Prima di parlare di qualcosa in matematica ci si interroga sull'esistenza o sulla sensatezza di ciò che si prende in esame. Nel nostro caso, abbiamo una semplice - si fa per dire - equazione. E prima di parlare delle sue soluzioni bisognerebbe chiedersi se ne ha almeno una. Dopo e solo dopo posso permettermi di dire quali sono le soluzioni indicandole con $sqrt 2$ e $-sqrt 2$, perché senza un teorema dell'esistenza questi simboli non avrebbero alcun significato, sarebbero soltanto aria fritta!

[gugo82]

Ora ho capito il punto di vista. Grazie.

Ti faccio notare, però, che in contesti elementari non si ha sempre bisogno di un teorema di esistenza "astratto" perché le soluzioni sono sempre determinabili con l'uso di "semplici" formule di rappresentazione esplicite.

Inoltre, il grado di sofisticazione con cui si affrontano le questioni matematiche dipende molto anche dall'età, dal background culturale e dal grado d'interesse nei problemi degli scolari, nonché da quanto il docente riesce a far sembrare "naturale" il modo dei matematici moderni di approcciare la questione.

[Indrjo Dedej]

Comunque era uno spunto di riflessione. È un caso molto semplice e sicuramente più vicino a @mklplo, che però a mio parere non va affrontato con tanta leggerezza e che rifletterci non può che far bene. Ora questo che ho scritto è una piccola smania "filosofica" che mi viene alcune volte , ma una riflessione su questo tema vale veramente la pena farla secondo me.