Dubbio su dimostrazione

Messaggioda ROMA91 » 28/08/2017, 12:04

Provo a postare in questa sezione, essendo, in realtà, un mio problema di apprendimento - l'altra faccia della didattica - sperando di poter ottenere almeno un cenno di risposta su un teorema importante, che ho trascritto e sul quale permangono le mie perplessità.

Non sono mosso, evidentemente, da alcun intento polemico. Nei confronti di nessuno.Intendo soltanto riuscire a capire se i miei dubbi abbiano una qualche ragion d'essere.

Ho cercato di non limitarmi a esporre soltanto il testo, ma mi sono impegnato autonomamente e ho sviluppato il calcolo formale del determinante cui penso il teorema si riferisca.

Il mio dubbio - sulle mie capacità di apprendimento e sulle mille possibilità di gestire la didattica - riguarda alcune modalità di dimostrazione.

Espongo il teorema:

"Una matrice di caratteristica k ha k righe - e altrettante colonne - linearmente indipendenti, mentre ciascuna delle altre righe - colonne - risulta essere una combinazione lineare delle k precedentemente considerate".

Supponiano che la matrice data sia la (1) $((a_{1,1},a_{1,2}, ...,a_{1,n}),(a_{2,1},a_{2,2}, ...,a_{2,n}),(...,...,...,...),(a_{m,1},a_{m,2},...,a_{m,n}))$ e supponiamo che risulti diverso da 0 il minore (23) $\lambda$ = $|(a_{1,1},a_{1,2}, ...,a_{1,k}),(a_{2,1},a_{2,2}, ...,a_{2,k}),(...,...,...,...),(a_{k,1},a_{k,2},...,a_{k,n})|$ formato con le prime k righe e le prime k colonne - caso cui ci si può sempre ricondurre mediante opportuni scambi tra righe e colonne. Va subito osservato che le prime k righe - colonne - risultano linearmente indipendenti. Infatti, se fosse vero il contrario, almeno una di esse sarebbe combinazione lineare delle rimanenti e il minore (23) sarebbe nullo contro l'ipotesi. Consideriamo ora il minore di ordine k+1 (24) $|(a_{1,1},. . ., a_{1,k},a_{1,j}),(...,...,...,...),(a_{k,1},. . ., a_{k,k},a_{k,j}),(a_{i,1},. . ., a_{i,k},a_{i,j})|$ con $i = k+1,k+2, ..., m$ e $j = 1,2, . . ., n$. Questo minore è nullo: se $j=<k$ perché si trova ad avere due colonne uguali, ma anche se $j >k$. Sviluppando il determinante (24) secondo gli elementi dell'ultima colonna si ha: (25) $\lambdaa_{i,j}$ $+$ $\lambda_1a _{1,j}$ $+$ $\lambda_2a_{2,j}$ $+ . . . +$ $\lambda_ka_{k,j}$ $=$ $0$, ove (26) $\lambda_1$, $\lambda_2$, $. . .$, $\lambda_k$ altro non sono che i complementi algebrici - rispetto al determinante (24) - di $a_{1,j}$, $a_{2,j}$, $. . .$, $a_{k,j}$. Occorre esplicitamente notare che le (26) sono delle costanti, che non dipendono da $j$. Risolvendo la (25) rispetto ad $a_{i,j}$ - si ricordi che è $\lambda!= 0$-, posto $mu_1$ $= -$ $\lambda_1/\lambda$, $mu_2$ $= -$ $\lambda_2/\lambda$, $. . .$, $mu_k$$= -$ $\lambda_k/\lambda$, si ha $a_{i,j}$ $=$ $\mu_1a _{1,j}$ $+$ $\mu_2a_{2,j}$ $+ . . . +$ $\mu_ka_{k,j}$ con $1=<j=<n$. Rimane così provato che la riga i-esima ($i>k$) della matrice altro non è che una combinazione lineare delle prime k. Il teorema risulta così provato per le righe. Per le colonne si procede analogamente.


Qui finisce il testo del teorema, che devo imparare e saper esporre in modo ragionato all'orale - se mi viene chiesto -.


Tutto il teorema - se comprendo bene - si fonda sul fatto che i coefficienti $\lambda$ dipendano soltanto dalla riga in cui si trovano e che, di conseguenza, al variare della colonna, se appartengono alla stessa riga, siano eguali. Se, infatti, essi, in generale, dipendessero da ${i,j}$ -se, cioè, fossero dei $lambda_{i,j}$, come mi sarei aspettato che fossero, e non, semplicemente, dei $lambda_i$ -, il teorema non risulterebbe più valido.

Tentativo autonomo:

Mi rendo ben conto che, se sviluppo il determinante (24), ottengo$|(a_{1,1},. . ., a_{1,k},a_{1,j}),(. . .,. . .,. . ., . . .),(a_{k,1},. . ., a_{k,k},a_{k,j}),(a_{i,1},. . ., a_{i,k},a_{i,j})|$ $=$ $\lambdaa_{i,j}$ $+$ $|(a_{2,1},. . .,. . ., a_{2,k}), (. . .,. . .,. . .,. . .),(a_{k,1},. . .,. . ., a_{k,k}), (a_{i,1},. . .,. . ., a_{i,k})|a_{1,j}$ $+ . . .$, in cui il coefficiente di $a_{1,j}$, cioè $\lambda_1$, non dipende, formalmente, da $j$ perché, infatti, in esso compaiono unicamente le righe da $2$ fino a $k$ e a $i$ e le colonne da $1$ a $k$.

Però, per concludere per la lineare dipendenza oltre l'ordine $k$ non dovrei - almeno, a mio parere - soltanto dimostrare che i $\lambda_1$, $\lambda_2$, $ . . .$ fino a $\lambda_i$ dell'ultima colonna -la $j$-esima - non dipendono da $j$, ma che essi risultano eguali a quelli delle altre colonne. Ma ciò, formalmente, non mi sembra risulti possibile. Inoltre, i $\lambda$ calcolati sulle altre colonne dipendono da $j$ !

D'altronde, mi sembra una tautologia affermare che, se sviluppo il determinante di una determinata matrice lungo la colonna $j$, i coefficienti di un elemento della colonna non dipenderanno dall'indice $j$. Infatti, nello sviluppo del calcolo, la $j$-esima colonna, indipendentemente dalle righe da "cancellare" - che faccio variare -, è la colonna che devo "cancellare" sempre . . .

Ditemi sinceramente, per cortesia, che cos'è che non riesco a capire? O sto perdendo il mio tempo ponendomi problemi su una dimostrazione che, prevalentemente, ha il valore di una parziale verifica e dovrei studiare diversamente o su altri testi?

Molte grazie
ROMA91
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