Cambio di paradigma nello studio delle equazioni differenziali

[otta96]

Salve a tutti, in genere non scrivo in questa sezione, che secondo me ha più potenzialità di quante ne esprima (soprattutto in ottica storia e fondamenti), ma oggi volevo chiedere delle informazioni di tipo storico sulle equazioni differenziali.
Io so che quando la gente ha iniziato a studiare le equazioni differenziali l'obbiettivo ultimo era quello di risolvere "esplicitamente" l'equazione arrivando ad una scrittura "in forma chiusa" per le soluzioni, ma ad un certo punto non ben precisato (perlomeno, nella mia testa) si è cominciato a porsi diversi tipi di problemi come per esempio esistenza e/o unicità delle soluzioni, studi qualitativi e cose del genere.
Quello che volevo sapere è quando è avvenuto questo mutamento del concetto di "risolvere una equazione differenziale", ma soprattutto perché.
Io un'idea ce l'ho (perché l'ho sentita da altri), ma volevo sapere prima cosa avevate da dirmi prima di esporla, anche per sapere se è coerente con i fatti.
Come ultima cosa, io ho parlato genericamente di equazioni differenziabili perché non so bene se il discorso cambia parlando di PDE o di ODE, nel caso fatemelo sapere voi.
Grazie in anticipo a chi mi risponderà.

[Indrjo Dedej]

Ciao!

secondo me ha più potenzialità di quante ne esprima (soprattutto in ottica storia e fondamenti),

Ma certo che ha delle potenzialità!

Io un'idea ce l'ho (perché l'ho sentita da altri), ma volevo sapere prima cosa avevate da dirmi prima di esporla, anche per sapere se è coerente con i fatti.

Incomincia coll'esporla, no?

[Vulplasir]

Quello che volevo sapere è quando è avvenuto questo mutamento del concetto di "risolvere una equazione differenziale", ma soprattutto perché.

Perché ci si è accorti di poter risolvere esplicitamente solo 1 oppure 2 tipi di equazioni differenziali.

[Indrjo Dedej]

@Vulplasir, la cosa non è così semplice come potresti far credere...

[gugo82]

Ci sono interi libri dedicati a questo problema, non solo limitatamente al mondo delle EDO/P.

In generale con il passare del tempo e con la scoperta di tecniche astratte, si è capito che "esistenza", "unicità" e "rappresentazione" delle soluzioni di un problema sono questioni che si affrontano meglio separatamente. Prima di questa presa di coscienza collettiva, le prime due questioni erano nettamente subordinate alla terza; ciò, nonostante abbia contribuito a creare molte delle funzioni che oggi usiamo senza problemi e molte altre utili agli ingegneri (le cosiddette funzioni speciali ), alla lunga ha costituito un grosso limite nella teoria delle EDO/P per i motivi "riassunti" da Zarathu... Vulplasir nel post precedente.
Se dovessi dire quando è cominciato il mutamento nell'affrontare tali questioni, direi con la scoperta dell'integrale di Dirichelet, i.e. del fatto che le soluzioni del problema:
\[
\begin{cases}
\Delta u = 0 &\text{, in } \Omega\\
u = f &\text{, su } \partial \Omega
\end{cases}
\]
forniscono il minimo all'integrale dell'energia:
\[
\mathcal{I}[u] := \int_{\Omega} |\nabla u|^2
\]
per funzioni continue t.c. $u=f$ su \(\partial \Omega\).

Per quanto concerne la storia delle EDO/P, consiglio le seguenti due letture:

• il capitolo Differential Equations: A Historical Overview to circa 1900 di Tom Archibald in H. N. Jahnke (2003) A History of Analysis , American Mathematical Society
  [Lo trovi sicuramente nella biblioteca del tuo dipartimento]
  
  
• l'articolo di H. Brezis e F. Browder (1998) Partial Differential Equations in the 20th Century, Advances in Mathematics 135, pp. 76-144
  [Lo dovresti trovare online senza problemi]