fractalius ha scritto:Scrivo per farti un favore, ossia per provare a farti riflettere e per evitare di farti perdere altro tempo con cose insensate: è per il tuo bene quindi. Quanto dici non ha senso, perché il fatto che un insieme come il tuo $A$, infinito numerabile, sia in corrispondenza con $\mathbb{N}$ e una parte propria di $\mathbb{N}$, cioè i pari, è assolutamente legittimo, proprio perché $\mathbb{N}$, essendo infinito, contiene dei "pezzi" più "piccoli" di sé in quanto sue parti diverse dal tutto (cioè $\mathbb{N}$), ma che hanno lo stesso numero di elementi del tutto, ossia la stessa cardinalità. Esibire delle corrispondenze biunivoche fra insiemi significa quindi riuscire ad affermare che tali insiemi hanno lo stesso numero di elementi: tu quindi hai semplicemente preso un insieme, lo hai messo in corrispondenza biunivoca con $\mathbb{N}$, infinito, e poi lo hai messo in corrispondenza con l'insieme dei numeri pari, sempre infinito. L'unica cosa che puoi dedurre da ciò è che la cardinalità di $A$ e quella di dei pari è la stessa di quella di $\mathbb{N}$. Quello che voglio dire è che va assolutamente bene se, nel tuo senso, un insieme $A$ "esaurisce" $\mathbb{N}$ e "non esaurisce" $\mathbb{N}$, ma una sua parte propria infinita. Il problema credo sia a livello di intuito, proprio perché non siamo abituati nel concreto a manipolare oggetti infiniti, e questo porta a pensare che quanto hai esposto sia effettivamente una contraddizione, ma non lo è: è semplicemente come funzionano gli insiemi infiniti e le mappe biettive tra essi.
Ti ringrazio per aver proceduto ad argomentare.
Il tuo argomento è circolare, come ora vengo a spiegarti. Come sapiamo ho fatto una dimostrazione secondo la quale sarebbe contraddittorio mettere in corrispondenza biunivoca un insieme A con $\mathbb{N}$ e con una parte propria di $\mathbb{N}$. Tu sei libro di credere che la mia dimostrazione sia sbagliata. Ma non puoi dire che è sbagliata perché quella che io faccio emergere non è una contraddizione e non è una contraddizione perché è così che funzionano gli insiemi infiniti. Facendolo, infatti assumi già in partenza che è così che funzionano gli insiemi infiniti. Ma se lo assumi in partenza allora è chiaro che questo ti consente di dire che è sbagliata ogni cosa sostenga il contrario. Ma questo si chiama ragionamento circolare.
Ti faccio un esempio. Usiamo l'espressione: "movimento infinito" per definire quel movimento fatto da un corpo quando va nello stesso momento in una direzione e nella direzione opposta. Naturalmente sappiamo che è contraddittorio per un corpo andare nello stesso momento in una direzione e in quella opposta. Se infatti in un dato momento un corpo si muove in una direzione non può stare andando anche in quella opposta.
Una contraddizione come questa è tale in virtù della sua forma logica, e di certo non scompare solo perché ho deciso di usarla per definire i "movimenti infiniti".
Se dunque io sostenessi che il movimento infinito è una contraddizione e mi venisse risposto: no, non è una contraddizione perché è proprio così che funzionano i movimenti infiniti, io direi che l'obiezione non è valida in quanto è un argomento circolare.
P.S.
E' vero che io con A posso mappare sia $\mathbb{N}$ che una sottoparte di $\mathbb{N}$, senza che ciò sia una contraddizione. Diremo che A ha lo stesso numero cardinale di $\mathbb{N}$ e del sottoinsieme dei numeri pari di $\mathbb{N}$.
Peccato solo, che come ho messo nel post iniziale, la contraddizione a cui mi riferisco non la sia ha a livello dei numeri cardinali. Essa sta a livello dei singoli elementi.
I numeri cardinali infatti si riferiscono a una corrispondenza biunivoca che è solo la regola che abbiamo scelto per passare dagli elementi di un insieme a quelli di un altro insieme. E appunto ci dice qualcosa solo di quella regola, non ci sta dicendo al contempo che i due insieme hanno per forza come elementi quelli che a cui si riferisce quella regola. Le cose vanno dimostrate in matematica. Cioé se io faccio una regola per passare dagli elementi di un insieme agli elementi di un altro, ho fatto appunto quello, non altro. Se poi voglio sostenere che gli elementi a cui quella regola si riferisce sono anche la totalità degli elementi dei due insiemi, lo devo dimostrare o ipotizzare a parte.
In definitiva la contraddizione che ho fatto emergere si verifica solo nel momento in cui invece di limitarci alla cardinalità (che non sa dirci nulla di per sé degli elementi in gioco) vediamo cosa succede a livello dei singoli elementi.
