NicolaDalfonso ha scritto:io sto dicendo che tutti gli elementi di A possono essere messi in corrispondenza uno a uno con tutti gli elementi di $\mathbb{N}$, e allo stesso tempo che tutti gli elementi di A possono essere messi in corrispondenza uno a uno con degli elementi che non sono tutti gli elementi di $\mathbb{N}$.
sta' proprio quì il problema: dati due insiemi non vuoti $A,B$ una funzione $f:A->B$ è una corrispondenza biunivoca se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.
Prendiamo in considerazione che per te $NN:={1,2,...,5019240,...}$
Prendiamo ora $A={(2n-1,2n)| n in NN}={(1,2),(3,4),(5,6),...}$
è chiaro come questo insieme, che si tratta dell'insieme di cui parli, sia in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali, basta considerare l'applicazione
$f:NN->A$ definita come $f(n)=(2n-1,2n)$
è chiaramente biunivoca.
Consideriamo ora l'altra funzione che è la seguente
$g:A->NN$ definita come $g(2n-1,2n)=2n$
questa applicazione non è per niente suriettiva, in quanto se prendessimo $1 in NN$ non ci sarebbe alcun elemento $x in A$ tale per cui $g(x)=n$, quindi questa non sarebbe una corrispondenza biunivoca ma lo diventa se considerassimo la restrizione del codominio $g:A->P$ dove $P$ è l'insieme dei numeri naturali pari.
morale: una funzione non suriettiva non è una corrispondenza biunivoca, la corrispondenza si ha con i pari ed e va bene così, non c'è alcuna contraddizione, anzi. Proprio queste due applicazioni dicono che $NN$ e $P$ sono equipotenti e che quindi $NN$ è infinito secondo Dedekind.
Tu parli della definizione di insieme Dedekind-infinito che dice che un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.
Quindi un insieme, non è Dedekind-infinito, se non può essere messo in corrispondenza biunivoca di OGNI sottoinsieme proprio, non di almeno uno.
la funzione $f$ realizza una corrispondenza tra $A,NN$ la funzione $g$ ristretta la realizza tra $A,P$ allora $NN,P$ sono in corrispondenza, ok.
La funzione $g$ non ristretta non realizza una corrispondenza biunivoca:
e quindi? dov'è la contraddizione? se così fosse nessun insieme sarebbe infinito secondo Dedekind, nemmeno $RR$ in quanto se considerassimo l'intervallo $[0,1]$ e l'applicazione $f:RR->[0,1]$ definita costantemente come $f(x)=1/2$ avremmo una funzione che non realizza una corrispondenza biunivoca, e quindi? Mica hai dimostrato che non ne esista nemmeno una...
Spero di averti persuaso, altrimenti, mi dispiace: questo post non può andare ancora avanti a suon di allusioni su denunce per discussioni scientifiche affrontate con un tono lungi dall'essere amichevole.
Ora torno a studiare.