Premessa: sto dando ripetizioni a un ragazzo che si impegna come un matto a studiare la matematica, senza però raggiungere i risultati da me sperati. Lui conosce a menadito la definizione, infatti non appena gliela chiedo, inizia:
Definizione data dall'insegnante del corso
Sia $f:X\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una funzione definita su $X$, sia $x_0$ un punto di accumulazione per $X$. Diremo che $\lim_{x\to x_0}f(x)=l\in\mathbb{R}$ se e solo se $\forall\varepsilon>0, \ \exists\delta_{\epsilon}>0$ tale che $\forall x\in X\cap I_{x_0}(\delta_{\varepsilon})-\{x_0\}$ si ha che $|f(x)-l|<\epsilon$, dove con $I_{x_0}(\delta_{\epsilon})$ è un intorno di $x_0$ di raggio $\delta_{\epsilon}$.
Ebbene è la definizione standard che si dà anche alle scuole superiori, probabilmente con qualche orpello notazionale in più. Quali sono le difficoltà? Nel momento in cui chiedo qual è il nocciolo della definizione, lui mi risponde convinto: $|f(x)-l|<\varepsilon$. Di tutta la definizione, la sua attenzione cade esclusivamente su quella disuguaglianza. Non riesco a fargli capire invece che l'importanza risiede nell'esistenza di quel $\delta_{\varepsilon}$ che rende vero ciò che segue.
Non c'è stato verso: gli ho tradotto la definizione nel linguaggio degli intorni; gli ho fornito l'interpretazione geometrica; gli ho rigirato la frittata con tutti i metodi che conoscevo. Niente, non gli vuole entrare in testa.
Mi sono accorto di questa sua mancanza proprio nel momento in cui dovevano dimostrare i vari teoremi sui limiti (unicità, permanenza del segno, limiti di una somma, prodotto, quoziente...) in cui la sua insegnante fissava $\varepsilon$ e considerava il $\delta$ associato: lui puntualmente: "E questo $\delta$ da dove viene fuori?".
So benissimo che il concetto di limite sia effettivamente uno dei più difficili da mandare giù per uno studente del primo anno, però c'è "un limite a tutto"1. Suggerimenti?
- Che poi 'sta cosa è falsa per un matematico ↑
(voglio dire: quanto ne sa di logica?)
