Equazioni determinate, indeterminate, impossibili e identità

[onanista]

Salve a tutti!
Mi è capitato più volte di riflettere sulla definizione corretta di equazione determinata, indeterminata, impossibile e identità. In generale i libri di testo danno queste definizioni:
un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni ed è determinata se ammette un numero finito di soluzioni, impossibile se non ammette soluzioni, indeterminata se ammette un numero infinito di soluzioni;
un'identità è un'uguaglianza tra due espressioni vera per qualsiasi valore assegnato alla variabile.

Cominciamo con la definizione di identità e consideriamo la seguente uguaglianza:
$\frac{2}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}$
alcune fonti sostengono che essa non sia un'identità in quanto non vera per tutti i valori di $x$ ma solo per $x\ne 0$.
Considerariamo ora l'insieme di definizione delle espressioni presenti nell'equazioni (dominio) e modifichiamo la definizione di identità in questo modo:
un'identità è un'uguaglianza tra due espressioni vera per qualsiasi valore assegnato alla variabile all'interno dell'insieme di definizione.
Nel caso precedente l'insieme di definizione è $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ e l'uguaglianza soddisfa la nuova definizione di identità.

Passiamo alle equazioni indeterminate e prendiamo:
$sin x=0$
L'equazione ha come soluzioni $x=k\pi$ che formano un insieme infinito ma nessuno ha mai sostenuto che l'equazione sia indeterminata. La definizione data per le equazioni indeterminate non sembra adeguata.

Inoltre c'è la tendenza a identificare le equazioni indeterminate con le identità; ho trovato la seguente definizione di equazione indeterminata che crea una distinzione tra equazioni indeterminate e identità sulla base dell'insieme delle soluzioni:
un'equazione indeterminata è un'uguaglianza tra due espressioni che ammette come soluzione un insieme di valori infinito ma diverso dall'insieme di definizione. Non va bene per l'equazione $sin x=0$ ma distingue nettamente tra identità e equazioni indeterminate: l'equazione che ho scritto all'inizio è un'identità invece
$|x|=x$
sarebbe considerata un'equazione indeterminata in quanto ammette come insieme di definizione $\mathbb{R}$ ma come insieme delle soluzioni $R_0^+$

Prendiamo ora l'uguaglianza:
$\sqrt{x-3}=\sqrt{3-x}$
L'insieme di definizione è ovviamente $D=\{3\}$ e ammette come insieme delle soluzioni $S={3}$ che è un insieme finito con $S=D$. In questo caso non possiamo pensare a un'identità ($S$ e $D$ coincidono) in quanto sono finiti.

Qualcuno di voi ha mai riflettuto su quale siano le definizioni più opportune?