fmnq ha scritto:Per quanto riguarda cos'è un insieme, che dirti?
Le cose che un po' tutti (o quasi) sanno (e tu certo sai, ma io parlo anche per altri che leggono), e sembrano funzionare, per la maggior parte dei rami della matematica.
Cosa significa questa frase?
Intendo dire che la matematica, usando la teoria assiomatica degli insiemi, assioma della scelta compreso, è andata avanti, la teoria assiomatica degli insiemi è accettata dalla maggioranza dei matematici e non c'è stato alcun sospetto nel corso degli anni che possa essere contraddittoria, la sua non contraddittorietà è generalmente accettata, anche se non provata.
fmnq ha scritto:gabriella127 ha scritto:Non è detto, comunque , che ogni cosa sia un insieme.
Invece è esattamente quello che dice ZF.
Continua a non sembrarmi vero che ogni cosa sia un insieme in ZF, così come in altre teorie assiomatiche.
Ad esempio nella teoria vonNeumann-Godel si distingue tra 'classi' e 'insiemi', gli insiemi sono classi ma non tutte le classi sono insiemi.
In Z-F caso mai è vero che ogni oggetto di cui
tratta è un insieme, ad esempio un elemento di un insieme è a sua volta un insieme, ma non è che per Z-F qualsiasi cosa è un insieme.
In ZF gli oggetti la cui esistenza porta a antinomie o 'stranezze', come l'insieme di tutti gli insiemi o l'insieme che contiene sé stesso, non sono assunti esistere come insiemi.
Ti posso citare lo stesso Zermelo che ritiene che i paradossi richiedano una restrizione della definizione di Cantor di insieme:
"It [il concetto di insieme] has not been sucessfully repalced by one they is just as simple and not give rise to such reservations. [...] In solving the problem, we must, on one hand, restrict these principles sufficiently to exclude all contraddictions, and , on th other, take them sufficientlly widw to retain all that is valuable in this discipline". (Riprendo una citazione in 'Philosofy of mathematics', P. Benacerraf e H.Putnam eds., p. 541).
Insomma, nelle assiomatizzazioni, l'uso della parola 'insieme' è sottomessa a delle limitazioni, visto che l'intuizione è risultata contraddittoria.
D'altra parte poi che senso averebbe costruire un sistema assiomatico i cui assiomi sono soddisfatti da
tutto? E' meglio non farlo proprio.
Per quanto riguarda la teoria dei modelli, mi astengo, visto che sò cos'è ma non ne so niente.
Non metto in dubbio che lì ci siano problemi irrisolti e sicuramente importanti.
Forse, è una domanda che mi faccio, però possiamo distingure due piani diversi, il piano matematico e il piano logico-filosofico.
Ci possono essere difficoltà sul piano logico o filosofico che non contraddicono il fatto che abbiamo una soddisfacente fondazione della matematica in termini di teoria degli insiemi.
Questo perché la logica (e la filosofia) possono occuparsi di oggetti di cui non si occupa la matematica.
Potrei citare a proposito un brano di Godel dove fa proprio questa distinzione tra piano logico e piano matematico della teoria degli insiemi, e dove dice che pensa che ci sia una fondazione soddisfacente della teoria degli insiemi in matematica.
Non lo cito qui se non divento pesante, ma è in Godel, 'What is Cantor continuum problem', presente nel libro che ho menzionato sopra.
E con questo ho esaurito la mia scienza.
Easy reading is damned hard writing. (Nathaniel Hawthorne, The Scarlet Letter)
buona fortuna, se vuoi rispondere [sto assumendo che ti sia chiara, in teoria dei modelli, la definizione di teoria -del primo ordine- e di modello; se non lo è, leggila prima di rispondere, perché ripeto: il punto è tutto qui. Si assume che esiste un modello per ZF, senza chiedersi mai quanto legittima è tale assunzione].
