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Oltre a varie cose che sto leggendo e di cui ho parlato in altri topic, ultimamente mi è sorta la curiosità verso la storia che sta dietro alle varie definizioni/risultati della matematica. Una delle domande è a chi si devono tutte le definizioni di continuità. Le definizioni a cui faccio riferimento sono: l'epsilon-delta, quella che usa il concetto di limite di una successione, quella che usa gli intorni, e la definizioni tipica della topologia (la controimmagine di un aperto è ancora un aperto).
Facendo delle ricerche ho visto che la prima delle definizioni da alcuni è attribuita a Cauchy, da altri a Weiestrass, mentre sulle altre definizioni non ho trovato nulla. A qualcuno dispiacerebbe togliermi questo dubbio?
p.s:esistono dei libri (tradotti in italiano) che trattano la storia di un preciso ambito della matematica, compreso come si è arrivati a dare le definizioni attuali?

Per sapere, questa è la sezione giusta per questa domanda?

Seguo, af.

Non è una questione che si può liquidare in fretta, serve un po’ di tempo (che non ho ora) per rispondere in maniera sensata, senza citare polpettoni già fatti da altri o dire “studialo da te”.
Se vuoi aspettare, rispondo tra qualche giorno.

@gugo82:ok, scusa non volevo mettere fretta, volevo solo essere sicuro della sezione, perché la domanda includeva domande sulla continuità (quindi forse doveva andare in analisi e/o topologia), inoltre chiedevo l'esistenza di un libro (quindi forse la sezione giusta è "Leggiti questo!"), oppure dato che tratta più cose la sezione poteva essare "generale". Dalla tua risposta deduco che la sezione è corretta.

Non so se è un polpettone, al massimo una polpetta (ma le polpette mi vengono bene).
(comunque la polpetta è mia, non è polpetta copiata da altri).

Tanto per dare una prima risposta. La storia del concetto di continuità nell'ottocento è intricata.

Il concetto di continuità come lo conosciamo noi adesso è spesso attribuito a Cauchy.
Nel capitolo II del suo 'Course d'analyse' (1821) Cauchy dà la definizione di funzione continua:
se$ f(x)$ è una funzione della variabile $x$, e tra due 'limiti' dati di $x$ (cioè in un intervallo di $x$) questa funzione ammette sempre un valore 'unico e finito', allora

"...la funzione $f(x)$ sarà, tra i due limiti assegnati alla variabile $x$, funzione continua di questa variabile, se per ogni valore di $x$ tra questi due limiti il valore numerico della differenza

$f(x+alpha) - f(x)$


decresce indefinitamente con quello di $alpha$. In altri termini, la funzione f(x) sarà continua in rapporto ai limiti dati, se, tra questi limiti, un incremento infinitamente piccolo della variabile produce un incremento infinitamente piccolo della funzione stessa" (il corsivo è di Cauchy).¹

Si può notare riguardo a questa definizione che
-definendo la continuità Cauchy usa le 'quantità infinitamente piccole' , che ha precedentemente definito come "le quantità il cui valore numerico decresce indefinitamente in modo da convergere verso il limite 0"².
- non usa dunque la formulazione formale con epsilon e delta.

Per questi motivi la definizione formale attuale di continuità viene spesso attribuita a Weiestrass.
Weiestrass definisce la continuità di una funzione in un punto $x_0$ nel seguente modo, nel suo 'Teoria della Funzioni analitiche' (1874):

"Qui diciamo che una quantità $y$ è una funzione continua di $x$, se dopo aver scelto una quantita $epsilon$ può essere dimostrata l'esistenza di un $delta$ , tale che per ogni valore tra $x_0-delta$... $x_0+delta$ il corrispondente valore di $y$ giace tra $y_0 -epsilon$ ...$y_o +epsilon$".

La definizione per successioni della continuità è invece attribuita a Heine, così come la nozione di continuità uniforme.

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Grazie per aver risposto.

Comunque come libri in italiano di storia della matematica ci sono due noti libri di Umberto Bottazzini Il calcolo sublime, che è una storia dell'analisi matematica, e Il flauto di Hilbert, che però non tratta un ambito specifico, è una storia della matematica più generale.
Poi un classico è Elementi di storia della matematica di Bourbaki, che è diviso per argomenti, tipo: 'algebra lineare', ''calcolo infinitesimale', 'spazi vettoriali topologici' etc.

Sennò c'è anche "Piccola storia del calcolo infinitesimale dall'antichità al Novecento“, del Giusti.
P. S. Non l'ho letto, quindi non garantisco sia ben scritto, ma da come ne parlano sembra di sì.

Grazie per i libri che avete consigliato.