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Leggevo questo vecchio post di gugo82 e mi ero incuriosito sulla generalizzazione dovuta a Dini.
Volevo sapere un po' di cose: dove si può trovare una dimostrazione di questo risultato? Si può fare senza basarsi sul teorema di Lagrange o quello di Cauchy?
Secondo voi può avere senso dimostrare questo teorema in un corso di analisi 1 (ovviamente solo a matematica!) e dedurre Cauchy e quindi Lagrange analogamente a come si fa di solito cioè da Rolle su dimostra Cauchy e si deduce Lagrange?
Ha una qualche utilità? Mi spiego: esiste qualche proposizione interessante che si può dimostrare con questo teorema ma in cui quello di Cauchy non basta? Oppure esiste qualche interpretazione geometrica interessante di questo teorema? Si può generalizzare ancora coinvolgendo sempre più funzioni?
Ringrazio chi vorrà rispondermi e naturalmente spero che gugo82 stesso mi risponda

Sarò telegrafico ed userò la notazione del teorema linkato.
La funzione $D(x)$ è continua in $[a,b]$, derivabile in $]a,b[$ ed ha $D(a) = 0 = D(b)$; dunque la dimostrazione del teorema di Peano si fa con la stessa tecnica usata per dimostrare il teorema di Rolle (o $D(x)=0$ ovunque oppure almeno un estremo assoluto è preso all’interno e vale Fermat).

Per quanto riguarda le applicazioni, non so… Mi dovrei documentare di nuovo (probabilmente anni fa ti avrei risposto subito) ma ora non ho tanto tempo (per chiusura anno scolastico).