Ma perché Cardano lo ha voluto a tutti i costi?

[Onoryant]

Ciao a tutti,

da diverso tempo ho un dilemma che non ho ancora risolto e che spero voi possiate risolvere. La questione riguarda l'origine dell’unità immaginaria e i numeri complessi in generale. Fu dapprima Cardano, nel XVI secolo, a dare l’impulso per i numeri complessi allo scopo di risolvere equazioni di secondo grado anche nel caso di discriminanti negativi. Poi Eulero, nel secolo successivo, perfezionò il tutto. Oggi, dopo secoli, si fa largo uso dei numeri complessi per risolvere problemi pratici specie nel campo elettronico. Quello che non riesco ancora a capire è perché nel XVI secolo, o addirittura da prima, si avesse la necessità di risolvere a tutti i costi le equazioni di secondo grado anche con discriminante negativo: a chi avrebbe giovato, all’epoca, tale soluzione? Quali ripercussioni effettive e pratiche potevano avere allora? Si è trattato di un semplice trastullo per la mente? È mai possibile che si è dovuto attendere centinaia di anni per poter applicare i numeri complessi a problemi di natura pratica?

O

[gugo82]

Vado a ritroso... Tra il serio ed il faceto.

Un confronto con le migliaia di anni che sono servite per elaborare il numero $0$ mostra che la genesi dei complessi è stata molto breve.
Non è vero che i numeri complessi sono stati applicati a problemi di natura pratica solo dopo centinaia di anni: Gauss ci ha dimostrato la costruibilità con riga e compasso di molti poligoni regolari coi complessi, Cardano ci ha risolto equazioni... Questi sono problemi "di natura pratica", in fondo.
Niente trastulli: Cardano, come gli altri matematici di età medioevale, partecipava a competizioni matematiche in cui erano in gioco soldi ed onore; vinceva chi risolveva i problemi proposti dagli avversari e proponeva problemi che gli avversari non riuscivano a risolvere... Se conoscevi un trucco che nessuno sapeva, alzavi bei soldi.
Ripercussioni pratiche: i soldi che entravano nelle tasche di Cardano.
A chi avrebbe giovato: al portafogli del signor Cardano...

[axpgn]

Mica per niente ci fu quella grossa disputa per le risolventi di terzo e quarto grado tra Cardano, Tartaglia et altri

[Bokonon]

Cardano non diede impulso a un bel niente. Come ha detto Gugo, all'epoca i "matematici" (in realtà avevano una preparazione che toccava molte discipline) sopravvivevano grazie ai mecenati e a coloro che potevano pagare per l'istruzione dei propri figli. La competizione era serrata e spesso i matematici si sfidavano (celebre è il resoconto del tenzone fra Tartaglia e Cardano).
Quindi erano tutti assai gelosi delle proprie scoperte e spesso non le divulgavano se non in punto di morte e solo ai loro discepoli.
Cardano scoprì la formula per risolvere le equazioni di terzo grado, perchè a differenza degli altri, quando arrivò ad avere una radice negativa nella deduzione, continuò. Non si fermò e alal fine si accorse che le radici negative sparivano...ottenendo quindi la formula. Anche Cardano come altri pensò che fosse solo un'espediente, nulla più.
Nessuno all'epoca pensò davvero che si potesse "allargare" il campo dei numeri reali e ancora nel '700 c'erano autori che ritenevano i numeri immaginari come un obbrobrio matematico.
Nonostante da Gauss in poi fossero spiegati e accettati (Gauss era solito dire che il nome "immaginario" non fosse accurato e soprattutto "deviante", pertanto propose il nome di numeri laterali), non è verò che i numeri complessi avessero "applicazioni pratiche". Per quanto ne so, il primo caso in cui le radici complesse ebbero un significato "pratico" fu quando Dirac derivò la sua famosa equazione e lanciò l'idea che effettivamente le soluzioni complesse potessero essere interpretate come antimateria (ma potrei sbagliarmi...anche se francamente non ricordo proprio esempi precedenti).

[Vidocq]

On the Analytical Representation of Direction

Applicazione alla topografia risalente al 1797-1799 (Caspar Wessel).
Completamente ignorata in passato.

Non dimentichiamoci di John Wallis, Argand e Hamilton.

[otta96]

Fu dapprima Cardano, nel XVI secolo, a dare l’impulso per i numeri complessi allo scopo di risolvere equazioni di secondo grado anche nel caso di discriminanti negativi.

Sinceramente posso dirti che ai matematici dell'epoca non poteva fregare di meno di risolvere le equazioni di secondo grado con determinante negativo, questo è un punto che mi pare importante sottolineare. Tra l'altro questa è una cosa molto sensata perché, dato che erano nel contesto dei soli numeri reali (anche se non conoscevano bene neppure quelli), non avrebbe molto senso che qualcuno abbia sentito il bisogno di trovare delle soluzioni anche a quel tipo di equazioni, questo bisogno si può provare solo a posteriori, una volta che si conoscono i numeri complessi, IMHO.
Piuttosto i numeri complessi sono entrati nella pratica matematica in quel periodo perché era stata trovata la formula risolutiva di equazioni di terzo (e quarto) grado e nella formula compaiono delle radici quadrate che possono anche essere negative. A quel punto i matematici dell'epoca avrebbero potuto benissimo dire che in quel caso le soluzioni non erano accettabili perché c'erano radici di numeri negativi, come d'altra parte facevano già con quelle di secondo grado. Il problema è che si sono accorti che in alcuni casi facendo i calcoli queste radici di numeri negativi si semplificavano e davano un numero reale che, quando lo sostituivano nell'equazione si accorgevano che era effettivamente una soluzione. A quel punto non potevano certo liquidare la questione con questa superficialità!
Da quel momento in poi ogni matematico, volente o nolente, ha dovuto imparare a familiarizzare con questi nuovi (per l'epoca) enti matematici, che però sono stati a lungo ritenuti alla stregua di assurdità che semplicemente facevano tornare dei calcoli, li vedevano come un "male necessario" insomma.
Bombelli (facciamo conoscere i matematici un po' sconosciuti, specialmente gli italiani! ) fu il primo a descrivere, nella sua "Algebra (1572)", in modo accurato come funzionassero le operazioni (elementari) tra numeri complessi, anche se ancora non le considerava quantità veramente esistenti, le usava solamente da un punto di vista formale per risolvere delle equazioni, scartando il risultato finale qualora non si fossero semplificate tutte le radici dei numeri negativi che comparivano.
Il primo a trattarli in modo significativamente (direi filosoficamente) diverso, ovvero di considerarli di uguale dignità degli altri numeri è stato nientemeno che Eulero nel '700, che ha ottenuto profondi progressi nella comprensione dei numeri complessi, in particolare la formula di Eulero, che ha come caso particolare l'identità di Eulero, una delle più note formule della matematica e ritenuta tra le più belle dalla maggior parte dei matematici (ma non da me ).
Ulteriori progressi importanti nella comprensione della struttura dell'insieme dei numeri complessi si sono avuti all'inizio dell''800 grazie a Argand, ma soprattutto a Gauss che hanno capito che si può pensare all'insieme dei numeri complessi come un piano dove la somma corrisponde alle traslazioni e la moltiplicazione ad una rotazione composta con un riscalamento, in particolare la moltiplicazione per $i$ è semplicemente la rotazione di $90$ gradi in modo tale che facendola due volte viene la riflessione rispetto allo $0$. Probabilmente è stato grazie a questa interpretazione che tutti i matematici hanno cominciato a considerare i numeri complessi come dei normalissimi numeri, sia a livello di calcoli (cosa che era stata completamente acquisita) che a livello filosofico. Gauss in particolare ha dimostrato un risultato molto profondo sui numeri complessi che è il teorema fondamentale dell'algebra, addirittura in vari modi!
La storia sarebbe ancora lunga, si continua ancora oggi a cercare di capire sempre meglio i numeri complessi (in particolare penso alla geometria complessa, di cui non so moltissimo), ma si esce dallo spirito della domanda iniziale, quindi mi fermo qui, sperando di aver trasmesso i motivi dell'introduzione dei numeri complessi nella matematica e riassunto in modo efficace i punti salienti del rapporto che i matematici hanno avuto nella storia con i numeri complessi.

[SirDanielFortesque]

Bombelli [...] non le considerava quantità veramente esistenti

Le cosiddette quantità silvestri.

[francicko]

Complimenti per i commenti, sono veramente esaustivi, aggiungerei, che all'epoca tutto cio che al momento non avesse un riscontro pratico nel reale, veniva messo da parte, non considerato, cosi è stato all'inizio con i numeri negativi , poi invece si capi che invece potevano avere una grande utilita pratica, interpretavano tanti problemi reali, e cosi é stato anche con i numeri complessi , oggi intere branche dell' ingegneria non sarebbero state concepite senza il loro utilizzo.

[Luca.Lussardi]

E' buffo comunque il termine "immaginario" come se i numeri reali fossero meno immaginari... I numeri sono tutti concettualmente astratti, nessuna eccezione, anche i numeri naturali lo sono.

[Shackle]

@Luca,

forse “immaginario” è stato scelto per fare da contrasto a “reale” ? Chi conosce la storia della matematica potrebbe saperlo.